Ta thấy 1995 chia hết cho 7, do đó:

 1992¹⁹⁹³ + 1994¹⁹⁹⁵ = (BS 7 – 3)¹⁹⁹³ + (BS 7 – 1)¹⁹⁹⁵ =  BS 7 – 3¹⁹⁹³ + BS 7 – 1

Theo câu b ta có 3¹⁹⁹³ = BS 7 + 3 nên 

 1992¹⁹⁹³ + 1994¹⁹⁹⁵ = BS 7 – (BS 7 + 3) – 1 = BS 7 – 4 nên chia cho 7 thì dư 3

 3²⁸⁶⁰ = 3^{3k + 1} = 3.3^3k = 3(BS 7 – 1) =  BS 7 – 3 nên chia cho 7 thì dư 4 

Ta có: \(2^{1994}=\left(2^{1992}\right).2^2=2^3.664.2^2=8^{664}.2^2\)

Do \(8^3\)  đồng dư 1 mod 7 nên \(8^{664}\) đồng dư 1.

Vậy \(8^{664}\).\(2^2\)=\(8^{664}\).4 sẽ đồng dư 4 mod 7.Vậy \(2^{1994}\) chia 7 dư 4.  
 

1992 đồng dư với 4 (mod 7)

\(1992^3\) đồng dư với 1 (mod 7)

=> \(\left(1992^3\right)^{664}\)đồng dư với \(1^{664}\) và đồng dư với 1 (mod 7)

1994 đồng dư với 6 (mod 7)

\(1994^2\) đồng dư với 1 (mod 7)

=> \(\left(1994^2\right)^{997}\)đồng dư với \(1^{997}\) và đồng dư với 1 (mod 7)

\(1992^{1993}+1994^{1995}\)

\(=1992.\left(1992^3\right)^{664}+1994.\left(1994^2\right)^{997}\)

\(=4.1+6.1=24\)

Vậy số dư là 24

Vấn đề Nguyệt muốn hỏi là tại sao tự dưng bạn phía trên lại có thể làm ra như vậy khi số dư 24 lớn hơn số chia ~ :) 

1.

Đặt \(1995^{1995}=a=a_1+a_2+a_3+...+a_n\)

Gọi \(S=a_1^3+a_2^3+...+a_n^3=a_1^3+a_2^3+...+a_n^3-a+a\)

\(S=\left(a_1^3-a_1\right)+\left(a_2^3-a_2\right)+...+\left(a_n^3-a_n\right)+a\)

Vì mỗi dấu ngoặc đều chia hết cho 6 do là tích 3 số tự nhiên liên tiếp

\(\Rightarrow S\) chia 6 dư a

Mà \(1995\equiv3\left(mod6\right)\Rightarrow1995^{1995}\equiv3\left(mod6\right)\)

Vậy S chia 6 dư 3

2.

\(2^{100}=\left(2^{10}\right)^{10}=1024^{10}=\left(B\left(25\right)-1\right)^{10}=B\left(25\right)+1\)

Vì 2¹⁰⁰ chẵn nên 3 chữ số tận cùng của nó chẵn nên có thể là 126; 376; 626; 876

Lại có 2¹⁰⁰ chia hết cho 8 => ba chữ số tận cùng chi hết cho 8

=> Ba CTSC là 376

3.

\(22^{22}+55^{55}=\left(BS7+1\right)^{22}+\left(BS7-1\right)^{55}=BS7+1+BS7-1=BS7⋮7\)

\(3^{1993}=3\cdot\left(3^3\right)^{664}=3\cdot\left(BS7-1\right)^{664}=3\left(BS7+1\right)=BS7+3\) nên chia 7 dư 3

\(1992^{1993}+1994^{1995}=\left(BS7-3\right)^{1993}+\left(BS7-1\right)^{1995}=BS7-3^{1993}+BS7-1=BS7-\left(BS7+3\right)+BS7-1=BS7-4\) chia 7 dư 3

\(3^{2^{1930}}=3^{2860}=3\cdot\left(3^3\right)^{953}=3\cdot\left(BS7-1\right)^{953}=3\left(BS7-1\right)=BS7-3\) chia 7 dư 4

4.

\(2^{1994}=2^2\cdot\left(2^3\right)^{664}=4\left(BS7+1\right)^{664}=4\left(BS7+1\right)=BS7+4\) chia 7 dư 4

\(3^{1998}+5^{1998}=\left(3^3\right)^{666}+\left(5^2\right)^{999}=\left(BS7-1\right)^{666}+\left(BS7-1\right)^{999}=BS7+1+BS7-1=BS7⋮7\)

\(A=1^3+2^3+3^3+...+99^3=\left(1+2+...+99\right)^2=B^2⋮B\)

CM bằng quy nạp (có trên mạng)

a) Dư 3

b) Dư 7

a)

\(3^{1993}:7\)

Ta có:

\(3\equiv3mod\left(7\right)\)

\(3^3\equiv6mod\left(7\right)\)

\(3^9\equiv6^3\equiv6mod\left(7\right)\)

\(3^{10}\equiv6.3\equiv4mod\left(7\right)\)

\(3^{90}\equiv1^3\equiv1mod\left(7\right)\)

\(3^{100}\equiv1.4\equiv4mod\left(7\right)\)

\(3^{900}\equiv4^9\equiv1mod\left(7\right)\)

\(3^{1000}\equiv1.4\equiv4mod\left(7\right)\)

\(3^{1993}\equiv4.1.1.6\equiv3mod\left(7\right)\)

Vậy số dư của \(3^{1993}\) khi chia cho \(7\) là 3

b)

\(1992^{1993}+1994^{1995}\) \(:7\)

Ta có:

\(1992\equiv4mod\left(7\right)\)

\(1992^3\equiv4^3\equiv1mod\left(7\right)\)

\(1992^9\equiv1^3\equiv1mod\left(7\right)\)

\(1992^{10}\equiv1.4\equiv4mod\left(7\right)\)

\(1992^{90}\equiv4^9\equiv1mod\left(7\right)\)

\(1992^{100}\equiv1.4\equiv4mod\left(7\right)\)

\(1992^{900}\equiv4^9\equiv1\)\(mod\left(7\right)\)

\(1992^{1000}\equiv1.4\equiv4mod\left(7\right)\)

\(1992^{1993}\equiv4.1.1.1\equiv4mod\left(7\right)\)

Ta có:

\(1994\equiv6mod\left(7\right)\)

\(1994^5\equiv6^5\equiv6mod\left(7\right)\)

\(1994^{10}\equiv6^2\equiv1mod\left(7\right)\)

\(1994^{90}\equiv1^9\equiv1mod\left(7\right)\)

\(1994^{100}\equiv1.1\equiv1mod\left(7\right)\)

\(1994^{900}\equiv1^9\equiv1mod\left(7\right)\)

\(1994^{1000}\equiv1.1\equiv1mod\left(7\right)\)

\(1994^{1995}\equiv1.1.1.6\equiv6mod\left(7\right)\)

Ta có:

\(1992^{1993}+1994^{1995}\)\(=4+6\equiv3mod\left(7\right)\)

Vậy \(1992^{1993}+1994^{1995}\)chia cho 7 có số dư là 3

Chúc bạn học tốt!

phan so nho nhat 19/60 chang

theo mình là 13/40

Là 19/60 đó.

\(Phân\)\(số\)\(nhỏ\)\(nhất\)\(là\)\(:\)

\(\frac{19}{60}\)

\(\frac{19}{60}\)

1996/1995 ; 1995/1994 ; 1993/1992 ; 1992/1991 ; 1994/1992

Chắc vậy á