(a+1)(b+1)(c+1)<8
a(1/b+1/c) + b(1/c+1/a) + c(1/b+1/a) = -2, a^3 + b^3 + c^3 = 1.CMR 1/a + 1/b + 1/c = 1
em gửi bài qua fb thầy chữa cho, tìm fb của thầy bằng sđt nhé: 0975705122
Giải và biện luận các phương trình sau
a) (x-ab)/(a+b) + (x-ac)/(a+c) + (x-bc)/(b+c) = a+b+c b) (x-a)/bc + (x-b)/ac + (x-c)/ab = 2(1/a + 1/b + 1/c)
#
a(1/b+1/c) + b(1/c+1/a) + c(1/b+1/a) = -2, a^3 + b^3 + c^3 = 1.CMR 1/a + 1/b + 1/c = 1
a(1/b+1/c) + b(1/c+1/a) + c(1/b+1/a) = -2, a^3 + b^3 + c^3 = 1
.CMR 1/a + 1/b + 1/c = 1
#
a(1/b+1/c) + b(1/c+1/a) + c(1/b+1/a) = -2, a^3 + b^3 + c^3 = 1.CMR 1/a + 1/b + 1/c = 1
a(1/b+1/c) + b(1/c+1/a) + c(1/b+1/a) = -2,
a^3 + b^3 + c^3 = 1.
CMR 1/a + 1/b + 1/c = 1
Đọc câu sau : A B C A B C B C A A B C A A B C A B C A B C A C B A B A B A B A B A B A B ^ C A C A C A A C A C
Và so sánh : 1 + 1 x 2 với 1/1 + 1/1 x 2/2 và với 1/1/1 + 1/1/1 x 2/2/2 và cả 1/1/1/1 + 1/1/1/1 x 2/2/2/2
( Lưu ý : Dấu " / " là dấu chia ; Dấu " x " là dấu nhân )
a)Cho a+b+c=1 và 1/a+1/b+1/c =0.Tính a^2+b^2+c^2
b)Cho a+b+c=2014 và 1/a+b + 1/a+c + 1/b+c=1/2014.Tính S=a/b+c + b/a+c + c/a+b
\(a,\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0=>\frac{ab+bc+ac}{abc}=0=>ab+bc+ac=0.abc=0\)
Mà \(a+b+c=1=>\left(a+b+c\right)^2=1=>a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac=1\)
\(=>a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ac\right)=1=>a^2+b^2+c^2=1-0=1\) (vì ab+bc+ac=0)
\(b,S=\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}=\left(\frac{a}{b+c}+1\right)+\left(\frac{b}{a+c}+1\right)+\left(\frac{c}{a+b}+1\right)-3\)
\(=\frac{a+b+c}{b+c}+\frac{a+b+c}{a+c}+\frac{a+b+c}{a+b}-3=\left(a+b+c\right).\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}\right)-3\)
\(=2014.\frac{1}{2014}-3=1-3=-2\)
Vậy.....................
rút gọn :
a ) 1/ a(a-b)(a-c) + 1/ b(b-c)(b-a) + 1/c(c-a)(c-b)
b) 1/ (a-b)(b-c) + 1/ (c-a)(c-b) + 1/(b-c)(b-a)
chứng minh bất đẳng thức sau 1, (a^2+b^2)/(a+b)+(b^2+c^2)/(b+c)+(c^2+a^2)/(c+a)>=a+b+c. 2, 1/(1/a+1/b)+1/(1/b+1/c)+1/(1/c+1/a)<=(a+B+c)/2
Cho các số a,b,c>0 và thỏa mãn a+b+c=3. Tìm GTNN
a, \(P=\dfrac{a}{1+b^2}+\dfrac{b}{1+c^2}+\dfrac{c}{1+a^2}\)
b, \(P=\dfrac{1}{a^2+1}+\dfrac{1}{b^2+1}+\dfrac{1}{c^2+1}\)
c, \(P=\dfrac{a+1}{b^2+1}+\dfrac{b+1}{c^2+1}+\dfrac{c+1}{a^2+1}\)
Với cả 3 phần thì dấu "=" xảy ra tại a=b=c=1.
a) \(\dfrac{a}{1+b^2}=\dfrac{a\left(1+b^2\right)}{1+b^2}-\dfrac{ab^2}{1+b^2}=a-\dfrac{ab^2}{1+b^2}\)
(Cosi) \(\ge a-\dfrac{ab^2}{2b}=a-\dfrac{ab}{2}\)
Tương tự : \(\dfrac{b}{1+c^2}\ge b-\dfrac{bc}{2};\dfrac{c}{1+a^2}\ge c-\dfrac{ca}{2}\)
\(\Rightarrow P\ge\left(a+b+c\right)-\dfrac{ab+bc+ca}{2}\ge\left(CS\right)\left(a+b+c\right)-\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{6}=3-\dfrac{3^2}{6}=\dfrac{3}{2}\)
b) \(\dfrac{1}{a^2+1}=1-\dfrac{a^2}{a^2+1}\ge\left(CS\right)1-\dfrac{a^2}{2a}=1-\dfrac{a}{2}\)
Tương tự : \(\dfrac{1}{b^2+1}\ge1-\dfrac{b}{2};\dfrac{1}{c^2+1}\ge1-\dfrac{c}{2}\)
\(\Rightarrow P\ge3-\dfrac{a+b+c}{2}=3-\dfrac{3}{2}=\dfrac{3}{2}\)
c)\(P=\dfrac{a+1}{b^2+1}+\dfrac{b+1}{c^2+1}+\dfrac{c+1}{a^2+1}=\left(\dfrac{a}{b^2+1}+\dfrac{b}{c^2+1}+\dfrac{c}{a^2+1}\right)+\left(\dfrac{1}{a^2+1}+\dfrac{1}{b^2+1}+\dfrac{1}{c^2+1}\right)\ge\dfrac{3}{2}+\dfrac{3}{2}=3\)
1. Cho a,b,c>0 thỏa mãn 1/a+1/b+1/c=3.Tìm GTNN của P=1/a^2+1/b^2+1/c^2
2.Cho a,b,c khác 0 thỏa mãn a+b+c =0 và 1/a+1/b+1/c=7.Tính 1/a^2+1/b^2+1/c^2
3.Cho a<_b<_ c và a+b+c>0.Cm:a/b+b/c+c/a>_ b/a+c/b+a/c
1. Ta có : \(\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\right)^2\ge0\Rightarrow\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\ge\frac{2}{ab}\)
Tương tự : \(\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\ge\frac{2}{bc}\); \(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{c^2}\ge\frac{2}{ac}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\ge\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}\). Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\)a = b = c
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=3\Rightarrow\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+2\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}\right)=9\)
\(9\le3\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)\)\(\Rightarrow\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\ge3\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\)a = b = c = 1
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=7\)\(\Rightarrow\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+2\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}\right)=49\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+2.\frac{a+b+c}{abc}=49\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}=49\)
Xét hiệu \(A=\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}-\frac{b}{c}-\frac{c}{b}-\frac{a}{c}\)
\(\frac{a^2c+b^2a+c^2b-b^2c-c^2a-a^2b}{abc}\)
\(\frac{\left(c-b\right)\left(a-c\right)\left(a-b\right)}{abc}\)
Ta thấy c -b \(\ge\)0 ; a - c \(\le\)0 ; a - b \(\le\)0 nên ( c - b ) ( a - c ) ( a - b )\(\ge\)0
Mà abc > 0 nên A \(\ge\)0 => ....
Cho a,b,c>0 thỏa mãn a+b+c=3 Cm\(\dfrac{1}{a^2+a+1}+\dfrac{1}{b^2+b+1}+\dfrac{1}{c^2+c+1}\ge1\)
\(\dfrac{1}{a^2+a+1}+\dfrac{1}{b^2+b+1}+\dfrac{1}{c^2+c+1}\ge1\)
\(\dfrac{1}{a^2+a+1}\ge\dfrac{1}{a^2+\dfrac{a^2+1}{2}+1}=\dfrac{2}{3}.\dfrac{1}{a^2+1}=\dfrac{2}{3}\left(1-\dfrac{a^2}{a^2+1}\right)\ge\dfrac{2}{3}\left(1-\dfrac{a}{2}\right)\)
Tương tự và cộng lại: \(VT\ge\dfrac{2}{3}\left(3-\dfrac{a+b+c}{2}\right)=\dfrac{2}{3}.\dfrac{3}{2}=1\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)