Bài làm

Vì n là số tự nhiên nên n chỉ có thể là số tự nhiên chẵn, hoặc lẻ.

+) Giả sử n là số chẵn : hiển nhiên n. ( n + 2013 ) chia hết cho 2   (1)

+) Giả sử n là số tự nhiên lẻ:

ta có: n = 2k + 1(  \(k\inℕ\) ) 

 => n.( n+2013) = (2k + 1). ( 2k +1 + 2013 )

                         = (2k + 1). ( 2k + 2014)

                         = (2k + 1). 2( k + 1007) \(⋮\) 2  ( 2)

Từ ( 1) và ( 2) ta có n.( n + 2013 ) chia hết cho 2 với mọi số tự nhiên n.(đpcm)

Vì n là số tự nhiên nên n chỉ có thể là số tự nhiên chẵn, hoặc lẻ.

- Giả sử n là số chẵn : hiển nhiên n. ( n + 2013 ) chia hết cho 2   (1)

- Giả sử n là số tự nhiên lẻ: ta có: n = 2k + 1( k là số tự nhiên )  => n.( n+2013) = (2k + 1). ( 2k +1 + 2013 ) = (2k + 1). ( 2k + 2014)

                                                                                                                                             = 2. (2k + 1). ( k + 1007) chia hết cho 2  ( 2)

Từ ( 1) và ( 2) ta có ( đpcm)

Nếu n=2k (k thuộc N) thì n+5=2k+5 chia hết cho 2

Nếu n=2k+1 (k thuộc N) thì n+4 =2k+5 chia hết cho 2

Vậy (n+4)(n+5) chia hết cho 2

Câu a 

Nếu n=2k thì n+4 = 2k+4 chia hết cho 2 => (n+4)(n+5) chia hết cho 2

Nếu n=2k+1 thì n+5=2k+5+1=2k+6 chia hết cho 2=> (n+4)(n+5) chia hết cho hai

Vậy (n+4)(n+5) chia hết cho 2

Câu b

Ta có n+2012 và n+2013 là hai số tự nhiên liên tiếp

Gọi ƯCLN(n+2012; n+2013)=d

Vì ƯCLN(n+2012;n+2013)=d 

=> n+2012 chia hết cho d, n+2013 chia hết cho d

Mà n+2013-n+2012=1=> d=1

Vậy n+2012 và n+2013 là 2 số nguyên tố cùng nhau

Trường hợp 1: n=2k

A=2k(2k+2013) chia hết cho 2

Trường hợp 2: n=2k+1

A=(2k+1)(2k+2014) chia hết cho 2

Số chính phương tận cùng bởi các chữ số 1, 4, 9, 6, 5, 0

n^2 + 2013 tận cùng bởi 4, 7, 2, 9, 8, 3

Vậy n^2 + 2013 ko chia hết cho 5

1+2+3+4+5+6+7+8+9=133456 hi hi

đào xuân anh sao mày gi sai hả

???????????????????
 

Đặt \(A=\left(n+2012^{2013}\right)+\left(n+2013^{2012}\right)\)
\(A=2n+\left(2012^4\right)^{503}.2012+\left(2013^4\right)^{503}\)

\(A=2n+\left(...6\right)+\left(...1\right)\)

Ta có : 2n là số chẵn

\(2012^{2013}\) là số chẵn

\(2013^{2012}\) là số lẻ

\(=>A=2n+2012^{2013}+2013^{2012}\) là số lẻ

Vì A là số lẻ => \(\left(n+2013^{2012}\right);\left(n+2012^{2013}\right)\) sẽ có 1 số chẵn và 1 số lẻ

=> \(\left(n+2012^{2013}\right)\left(n+2013^{2012}\right)\) là số chẵn nên chia hết cho 2 ( đpcm )

a) Tự làm ( QUÁ DỄ ) !!!

b ) Trường hợp 1 : Nếu n = 2k

Thì 2k ( 2k + 2013 )

Một số chẵn cộng 1 số lẻ thì có tổng là : số lẻ

Mà 1 số chẵn nhân 1 số lẻ thì có tích là : số chẵn ( chia hết cho 2 )

Trường hợp 2 : Nếu n = 2k + 1 

Thì 2k + 1 ( 2k + 1 + 2013 )

= 2k + 1 ( 2k + 2014 )

Một số chẵn cộng 1 số chẵn thì có tổng là 1 : số chẵn

Một số lẻ nhân 1 thì có tích là : số chẵn ( chia hết cho 2 )

=> n ( n + 2013 ) với mọi n luôn chia hết cho 2 ( đpcm )