Ta có:

\(x^2+xy-2008x-2009y-2010=0\)

\(\Leftrightarrow x^2+xy+x-2009x-2009y-2009=1\)

\(\Leftrightarrow x\left(x+y+1\right)-2009\left(x+y+1\right)=1\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y+1\right)\left(x-2009\right)=1\)

Xét trường hợp:

\(\left(1\right)\left\{{}\begin{matrix}x-2009=1\\x+y+1=1\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=2010\\y=-2010\end{matrix}\right.\)

\(\left(2\right)\left\{{}\begin{matrix}x-2009=-1\\x+y+1=-1\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=2008\\y=-2010\end{matrix}\right.\)

Vậy \(\left(x;y\right)=\left(2010;-2010\right);\left(2008;-2010\right)\)

Để PT có nghiệm khi \(2009y^{2010}\) lẻ \(\Rightarrow y^{2010}\)lẻ Hay \(y\) lẻ

\(\Rightarrow y^2\equiv1\left(mod4\right)\)\(\Rightarrow2009y^{2010}\equiv1\left(mod4\right)\)

Mà \(2008x^{2009}\equiv0\left(mod4\right)\) nên \(2008x^{2009}+2009y^{2010}\equiv1\left(mod4\right)\)

Mà \(2011\equiv3\left(mod4\right)\) 

\(\Rightarrow2008x^{2009}+2009y^{2010}\ne2011\forall x;y\in Z\)

Vậy PT vô nghiệm nguyên

- Nếu y chẵn thì với mọi x thuộc Z có 2008x²⁰⁰⁹ + 2009y²⁰¹⁰ là số chẵn; mà 2011 là số lẻ, (vô lý)

- Nếu y lẻ thì y¹⁰⁰⁵ là số lẻ. Đặt y¹⁰⁰⁵ = 2k + 1 ( k thuộc Z )                                             

 2009y²⁰¹⁰ = 2009(y¹⁰⁰⁵)² = 2009(2k + 1)² = 2009(4k² + 4k + 1) = 4[2009(k² + k)] + 2009

Ta có 2009y²⁰¹⁰ chia cho 4 dư 1  2008x²⁰⁰⁹ + 2009y²⁰¹⁰ chia cho 4 dư 1; mà 2011 chia cho 4 dư 3, (vô lý)

Vậy không có các số nguyên x, y nào thỏa mãn  hệ thức :2008x²⁰⁰⁹ + 2009y²⁰¹⁰ = 2011.   

Ta có : \(x^2+y^2+xy=x^2y^2\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2=xy\left(xy+1\right)\)

Mà \(x^2y^2\le xy\left(xy+1\right)\le\left(xy+1\right)^2\)

Không tồn tại 1 số chính phương giữa 2 số chính phương để xy(xy+1) là 1 số chính phương thì nó phải bằng 1 trong hai số đó .

\(\Rightarrow xy\left(xy+1\right)=0\) 

\(\Rightarrow\left(x,y\right)=\left(0,0\right);\left(1,-1\right);\left(-1,1\right)\)

\(x^2+y^2+xy=x^2y^2\)

<=>x^2+y^2-x-y-xy=0 
<=>2x^2+2y^2-2x-2y-2xy=0 
<=>(x-y)^2+(x-1)^2+(y-1)^2=2 
mà 2=0+1+1=1+0+1=1+1+0 
(phần này tách số 2 ra thành tổng 3 số chính phương) 
Xét trường hợp 1: 
(x-y)^2=0 
(x-1)^2=1 
(y-1)^2=1 
Giải ra ta được x=2, y=2 
Tương tự xét các trường hợp còn lại. 
Kết quả: 5 nghiệm: (2;2) ; (1;0) ; (1;2) ; (0;1) ; (2;1) 

Thân_mưa ^^

Cảm ơn Tiểu Linh nhiều ạ