Ta có a < b + c; b < c + a; c < a + b nên từ a + b + c = 2 suy ra a, b, c < 1.

BĐT cần cm tương đương:

\(\left(a+b+c\right)^2+2abc< 2\left(ab+bc+ca\right)+2\)

\(\Leftrightarrow abc-\left(ab+bc+ca\right)+1< 0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)\left(b-1\right)\left(c-1\right)< 0\).

Bất đẳng thức trên luôn đúng do a, b, c < 1.

Vậy ta có đpcm.

Ta có : \(\left(a+b-2c\right)^2+\left(b+c-2a\right)^2+\left(c+a-2b\right)^2=\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+4c^2+2ab-4bc-4ac+b^2+c^2+4a^2+2bc-4ca-4ab+c^2+a^2+4b^2+2ac-4bc-4ab=...\)

\(\Leftrightarrow6a^2+6b^2+6c^2-6\left(ab+bc+ca\right)=a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+c^2-2ca+a^2\)

\(\Leftrightarrow6a^2+6b^2+6c^2-6\left(ab+bc+ca\right)-a^2+2ab-b^2-b^2+2bc-c^2-c^2+2ca-a^2=0\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca\)

\(\Leftrightarrow a=b=c\)

<=> Tam giác đó là tam giác đều .

Vậy ...

Ta có:
\(\left(a+b+c\right)^2=3\left(ab+bc+ca\right)\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)-3\left(ab+bc+ca\right)=0\)

\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2\left(ab+bc+ca\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow a=b=c\) hay tam giác ABC đều.

a^2+b^2+c^2+2abc<2

a,b,c là độ dài 3 cạnh của một tam giác nên a < b + c

\(\Leftrightarrow2a< a+b+c\Leftrightarrow2a< 2\Leftrightarrow a< 1\)

Chứng minh tương tự: b < 1; c < 1

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}1-a>0\\1-b>0\\1-c>0\end{cases}}\Leftrightarrow\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)>0\)

\(\Leftrightarrow1-c-b+bc-a+ac+ab-abc>0\)

\(\Leftrightarrow1-\left(a+b+c\right)+ab+bc+ac>abc\)

\(\Leftrightarrow1-2+ab+bc+ac>abc\)

\(\Leftrightarrow abc< -1+ab+bc+ac\)

\(\Leftrightarrow2abc< -2+2ab+2bc+2ac\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2abc< -2+2ab+2bc+2ac+a^2+b^2+c^2\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2abc< \left(a+b+c\right)^2-2\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2abc< 2^2-2\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2abc< 2\left(đpcm\right)\)

ミ★长 - ƔξŦ★彡 mất công vl ra:(

Ta chứng minh: \(a^2+b^2+c^2< \frac{\left(a+b+c\right)^2}{2}\)

\(\Leftrightarrow2\left(ab+bc+ca\right)-\left(a^2+b^2+c^2\right)>0\)

\(\Leftrightarrow\left(ab+ca\right)-a^2+\left(bc+ab\right)-b^2+\left(ca+bc\right)-c^2>0\)

\(\Leftrightarrow a\left(b+c-a\right)+b\left(c+a-b\right)+c\left(a+b-c\right)>0\)(đúng theo bđt tam giác)

Do đó \(a^2+b^2+c^2< \frac{\left(a+b+c\right)^2}{2}=2^{\left(đpcm\right)}\)

\(a^2+b^2+c^2=ab+bc+ac\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=b\\b=c\\c=a\end{cases}\Leftrightarrow a=b=c}\)

Vậy tam giác đó là tam giác đều 

\(a^2+b^2+c^2=ab+bc+ac\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2=2ab+2bc+2ac\)

\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(a^2-2ac+c^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(a-c\right)^2+\left(b-c\right)^2=0\left(1\right)\)

vi   \(\left(a-b\right)^2\ge0\)

 \(\left(a-c\right)^2\ge0\)

\(\left(b-c\right)^2\ge0\)

de \(\left(1\right)\) xay ra thi \(\hept{\begin{cases}a-b=0\\a-c=0\\b-c=0\end{cases}\Leftrightarrow a=b=c}\)

         \(\Leftrightarrow\)do la tam giac deu

Dài quá, dùng phương pháp hệ số giả định (hình như gọi thế này) là ra ngay: 

Lời giải:

$(a-b)^2=(b-c)^2$

$\Rightarrow (a-b)^2-(b-c)^2=0$

$\Rightarrow (a-b-b+c)(a-b+b-c)=0$

$\Rightarrow (a-2b+c)(a-c)=0$

$\Rightarrow a=c$ hoặc $a+c=2b$

Không đủ cơ sở để khẳng định ABC là tam giác đều bạn nhé.