Ta thấy: \(\left(x+y\right)^2-\left(x-y\right)^2=4xy\)
Thay x + y = 2 vào biểu thức trên ta được:
\(2^2-\left(x-y\right)^2=4xy\)
\(\Rightarrow4-\left(x-y\right)^2=4xy\)
Do \(\left(x-y\right)^2\ge0\) ( mọi x và y )
\(\Rightarrow4-\left(x-y\right)^2\le4\) ( mọi x và y )
\(\Rightarrow4xy\le4\) ( mọi x và y )
\(\Rightarrow xy\le1\) ( mọi x và y )
Vậy với mọi x và y, nếu \(x+y=2\) thì \(xy\le1\). Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:
\(4xy=4\)
\(\Rightarrow4-\left(x-y\right)^2=4\)
\(\Rightarrow\left(x-y\right)^2=0\)
\(\Rightarrow x-y=0\)
\(\Rightarrow x=y\)

đặt x = 1 + a ; y = 1 - a thì x + y = ( 1 + a ) + ( 1 - a ) = 2

xy = ( 1 + a ) . ( 1 - a )

xy = 1 - a²

Mà a² \(\ge\)0

\(\Rightarrow\)1 - a² \(\le\)1

Giả thiết đề bài phải cho \(x^2+y^2+z^2\le3\) mới đúng.

Đặt \(m=x+y+z\)  thì \(m^2=\left(x^2+y^2+z^2\right)+2\left(xy+yz+zx\right)\le3+2\left(xy+yz+zx\right)\)

                                            \(\le3+2\left(x^2+y^2+z^2\right)\le3+3.2=9\)

\(\Rightarrow m^2\le9\Rightarrow-3\le m\le3\) (1) 

Lại có ; \(\left(x+y+z\right)^2\ge3\left(xy+yz+zx\right)\)

\(\Rightarrow xy+yz+zx\le\frac{m^2}{3}\le\frac{9}{3}=3\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(x+y+z+xy+yz+zx\le6\) (đpcm)

 x+y=2 
<=> x=2-y(1) 
giả sử x*y≤1 
<=>(2-y)y≤1 
<=>y^2 - 2y +1≥0 
<=> (y-1)^2≥0 
<=>y≥1(2) 
từ (1),(2)=> x*y≤1 
 

xy = 1 vì :

1 + 1 = 2

vậy xy là 1 nha      

ta có Áp dụng bđt cô si ta có 

\(x^2+y^2\ge2xy\Rightarrow\left(x+y\right)^2\ge4xy\Rightarrow4\ge4xy\Rightarrow1\ge xy\) (ĐPCM)

dấu = xảy ra <=> x=y=1