a) Xét ΔNAM vuông tại M và ΔNDA vuông tại D có 

NA chung

NA=ND(gt)

Do đó: ΔNAM=ΔNDA(cạnh huyền-cạnh góc vuông)

⇒\(\widehat{MNA}=\widehat{DNA}\)(hai góc tương ứng)

mà tia NA nằm giữa hai tia NM,NDnên NA là tia phân giác của \(\widehat{NMD}\)hay NA là tia phan giác của \(\widehat{NMP}\)(đpcm)b) Xét ΔNMD có NM=ND(gt)nên ΔNMD cân tại N(Định nghĩa tam giác cân)Xét ΔNMD cân tại N có \(\widehat{MND}=60^0\)(gt)nên ΔNMD đều(Dấu hiệu nhận biết tam giác đều)c) Ta có: ΔNMP vuông tại M(gt)nên \(\widehat{NMP}+\widehat{MPN}=90^0\)(hai góc nhọn phụ nhau)\(\Leftrightarrow\widehat{MPN}=90^0-\widehat{NMP}=90^0-60^0=30^0\)(1)Ta có: NA là tia phân giác của \(\widehat{MNP}\)(cmt)nên \(\widehat{PNA}=\dfrac{\widehat{MNP}}{2}=\dfrac{60^0}{2}=30^0\)(2)Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat{APN}=\widehat{ANP}\)Xét ΔANP có \(\widehat{APN}=\widehat{ANP}\)(cmt)nên ΔANP cân tại A(Định lí đảo của tam giác cân)Ta có: ΔANP cân tại A(gt)mà AD là đường cao ứng với cạnh đáy NP(gt)nên AD là đường trung tuyến ứng với cạnh NP(Định lí tam giác cân)hay D là trung điểm của NP(đpcm)

GiẢi

a , Xét tam giác MNA và tam giác DNA có :

NM=ND (GT)

Góc NMA = góc NDA =90 độ

NA là cạnh chung

=> Tam giác MNA = tam giác DNA (c.g.c)

=> Góc MNA =góc DNA ( hai góc tương ứng)

=. NA là tia phân giác của góc MNP

b, Tam giác MND là tâm giác đều vì mỗi góc đều có só đo = 60 độ

d,Xetstam giác MBA và tam giác DPA có :

BM=DP(GT)

góc MAB = góc DPA ( đối đỉnh)

MA=DA (hai cạnh tương ứng của tam giác MNA=tam giác DNA)

=> Tam giác MBA = tam giác DPA (c.g.c)

=> AB=PA ( hai cạnh tương ứng)

=> Tam giác APB cận tại A

e, AD vuông góc với NP

BD vuông góc với NP

=. D,A,B thẳng hàng

a, Ta có: Tam giác ABC cân tại A (gt)

=> góc ABC = góc ACB

=> 1/2 góc ABC = 1/2 góc ACB

=> góc IBC = góc ICB

=> Tam giác BIC cân tại I

b, Gọi M là giao điểm của AI với BC

Ta có tam giác BIC cân (câu a)

=> IB = IC ( cặp góc tương ứng )

Xét tam giác ABI và tam giác ACI:

AB = AC (gt)

góc ABI = góc ACI (c.m trên )

IB = IC (c.m trên )

=> Tam giác ABI = tam giác ACI (c.g.c)

=>góc BAI = góc CAI ( cặp góc tương ứng )

Xét tam giác BAM và tam giác CAM

góc BAI = góc CAI (c.m trên)

AB = AC (gt)

góc ABC = góc ACB (gt)

=> tam giác BAM = tam giác CAM (g.c.g)

=>BM = CM (cặp cạnh tương ứng) (1)

=>góc AMB = góc AMC (cặp góc tương ứng )

mà góc AMB + góc AMC = 180^o (kề bù)

=> góc AMB = góc AMC = 180^o / 2 = 90^o (2)

Từ (1)(2) => AI trung trực BC

a: Xét ΔMNI và ΔMPI có 

MN=MP

NI=PI

MI chung

Do đó: ΔMNI=ΔMPI

b: Ta có: ΔMNP cân tại M

mà MI là đường trung tuyến

nên MI là đường trung tuyến

c: Ta có: ΔMNP cân tại M

mà MI là đường trung tuyến

nên MI là đường cao