Bài 12: 

a: Xét ΔABM và ΔACN có

AB=AC

\(\widehat{ABM}=\widehat{ACN}\)

BM=CN

Do đó: ΔABM=ΔACN

4.

\(ab+bc+ca=3abc\Leftrightarrow\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=3\)

Đặt \(\left(\dfrac{1}{a};\dfrac{1}{b};\dfrac{1}{c}\right)=\left(x;y;z\right)\Rightarrow x+y+z=3\)

\(S=\sum\dfrac{\dfrac{1}{y^2}}{\dfrac{1}{x}\left(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}\right)}=\sum\dfrac{x^3}{x^2+y^2}=\sum\left(x-\dfrac{xy^2}{x^2+y^2}\right)\)

\(S\ge\sum\left(x-\dfrac{xy^2}{2xy}\right)=\sum\left(x-\dfrac{y}{2}\right)=\dfrac{x+y+z}{2}=\dfrac{3}{2}\)

\(S_{min}=\dfrac{3}{2}\) khi \(x=y=z=1\) hay \(a=b=c=1\)

5.

Đặt \(\left(\dfrac{1}{a};\dfrac{2}{b};\dfrac{3}{c}\right)=\left(x;y;z\right)\Rightarrow x+y+z=3\)

Đặt vế trái là P

\(P=\dfrac{z^3}{x^2+z^2}+\dfrac{x^3}{x^2+y^2}+\dfrac{y^3}{y^2+z^2}\)

Quay lại dòng 3 của bài số 4

6.

Do a;b;c không âm, ta có:

\(b^2\left(b-1\right)^2\left(b+2\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow b^5-3b^3+2b^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow b^5-3b^3+2b^2-6\ge-6\)

\(\Leftrightarrow-\left(3-b^2\right)\left(b^3+2\right)\ge-6\)

\(\Leftrightarrow6\ge\left(3-b^2\right)\left(b^3+2\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{b^3+2}\ge\dfrac{3-b^2}{6}\)

\(\Rightarrow\dfrac{a}{b^3+2}\ge\dfrac{a\left(3-b^2\right)}{6}\)

Tương tự: \(\dfrac{b}{c^3+2}\ge\dfrac{b\left(3-c^2\right)}{6}\) ; \(\dfrac{c}{a^3+2}\ge\dfrac{c\left(3-a^2\right)}{6}\)

Cộng vế: \(P\ge\dfrac{a+b+c}{2}-\dfrac{ab^2+bc^2+ca^2+abc}{6}=\dfrac{3}{2}-\dfrac{ab^2+bc^2+ca^2+abc}{6}\)

Không mất tính tổng quát, giả sử \(b=mid\left\{a;b;c\right\}\)

\(\left(b-a\right)\left(b-c\right)\le0\)

\(\Leftrightarrow b^2+ac\le ab+bc\)

\(\Leftrightarrow ab^2+ca^2\le a^2b+abc\)

\(\Rightarrow ab^2+bc^2+ca^2+abc\le bc^2+a^2b+2abc=b\left(a+c\right)^2=4b\left(\dfrac{a+c}{2}\right)\left(\dfrac{a+c}{2}\right)\le\dfrac{4}{27}\left(a+b+c\right)^3=4\)

\(\Rightarrow P\ge\dfrac{3}{2}-\dfrac{4}{6}=\dfrac{5}{6}\)

Các bạn gửi Bài dự thi + Họ Tên + Link trang cá nhân hoc24 về mail: hoc24.cfs@gmail.com nhé!

Ô! Thế thì hay quá, cuối cùng thì cũng có thể viết thư :3

Nói chung BTC chỉ đưa ra hình thức trình bày chứ không có đưa ra thể loại dự thi đúng không? Mình có thể viết thư, làm thơ, tản văn cũng có thể làm truyện ngắn, làm chương hồi,...đúng không nà?

5.

\(\sqrt{\left(a+b\right)\left(c+a\right)}\ge\sqrt{\left(\sqrt{ac}+\sqrt{ab}\right)^2}=\sqrt{ac}+\sqrt{ab}\)

\(\Rightarrow\dfrac{a}{a+\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}\le\dfrac{a}{a+\sqrt{ac}+\sqrt{ab}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}\)

Tương tự:

\(\dfrac{b}{b+\sqrt{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}}\le\dfrac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}\)

\(\dfrac{c}{c+\sqrt{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}}\le\dfrac{\sqrt{c}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}\)

Cộng vế với vế:

\(P\le\dfrac{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}=1\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)

6.

\(P=\dfrac{a}{1+b-a}+\dfrac{b}{1+c-b}+\dfrac{c}{1+a-c}\)

Thay \(1=a+b+c\)

\(\Rightarrow P=\dfrac{a}{2b+c}+\dfrac{b}{2c+a}+\dfrac{c}{2a+b}\)

\(P=\dfrac{a^2}{2ab+ac}+\dfrac{b^2}{2bc+ab}+\dfrac{c^2}{2ac+bc}\)

\(P\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{3ab+3bc+3ca}\ge\dfrac{3\left(ab+bc+ca\right)}{3\left(ab+bc+ca\right)}=1\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{3}\)

7.

\(T=\left(x^2\right)^2+\left(y^2\right)^2+\left(z^2\right)^2\ge\dfrac{1}{3}\left(x^2+y^2+z^2\right)^2\)

\(T\ge\dfrac{1}{3}\left(xy+yz+zx\right)^2=\dfrac{1}{3}\)

\(T_{min}=\dfrac{1}{3}\) khi \(x=y=z=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\)

Thầy Nguyễn Việt Lâm ơi giúp em mấy bài này với.Em sắp phải nộp rồi ạ  - Hoc24

Bài 3: 

a: Thay x=9 vào A, ta được:

\(A=\dfrac{3-2}{3+3}=\dfrac{1}{6}\)

Bài 3:

\(1,x=9\Leftrightarrow A=\dfrac{3-2}{9+3}=\dfrac{1}{12}\\ 2,P=AB=\dfrac{\sqrt{x}-2}{x+3}\cdot\dfrac{x-3\sqrt{x}+2-2+5\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}\\ P=\dfrac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+2\right)}{\left(x+3\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}=\dfrac{\sqrt{x}}{x+3}\\ 3,\left(10x+30\right)P\ge x+25\\ \Leftrightarrow\dfrac{3\sqrt{x}\left(x+3\right)}{x+3}-x-25\ge0\\ \Leftrightarrow3\sqrt{x}-x-25\ge0\\ \Leftrightarrow-\left(x-3\sqrt{x}+\dfrac{9}{4}\right)-\dfrac{91}{4}\ge0\\ \Leftrightarrow-\left(\sqrt{x}-\dfrac{3}{2}\right)^2-\dfrac{91}{4}\ge0\left(vô.lí\right)\\ \Leftrightarrow x\in\varnothing\)

1)

a) 4y²-4xy+x²= x²-4xy+4y²= (x-2y)²

b) 9x²-12xy+4y²= (3x)²-2.3x.2y+(2y)²= (3x-2y)²

c) 16x²-25=(4x)²-5²= (4x-5)(4x+5)

d) 1-9y²= 1²-(3y)²=(1-3y)(1+3y)

g) x³-27y³= (x-3y)(x²+3xy+9y²)

h) 64 + 8x³=(4+2x)(16+8x+4x²)

i) x⁴+4y⁴-4x²y²= (x²)²-2x²2y²+(y²)²=(x²-y²)²