a: Xét tứ giác MAOB có \(\widehat{MAO}+\widehat{MBO}=180^0\)

nên MAOB là tứ giác nội tiếp

Xét (O) có

MA là tiếp tuyến

MB là tiếp tuyến

Do đó: MA=MB

mà OA=OB

nên OM là đường trung trực của AB

=>OM⊥AB

b: Xét ΔMAC và ΔMDA có 

\(\widehat{MAC}=\widehat{MDA}\)

\(\widehat{AMC}\) chung

Do đó: ΔMAC∼ΔMDA
SUy ra: MA/MD=MC/MA

hay \(MA^2=MC\cdot MD\left(1\right)\)

Xét ΔOAM vuông tại A có AH là đường cao

nên \(MH\cdot MO=MA^2\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(MC\cdot MD=MH\cdot MO\)

a: góc SAO+góc SBO=180 độ

=>SAOB nội tiếp

c: Xét ΔSAD và ΔSCA có

góc SAD=góc SCA

góc ASD chung

=>ΔSAD đồng dạng vớiΔSCA

a) Xét tứ giác SAOB có 

\(\widehat{OAS}+\widehat{OBS}=180^0\)

nên SAOB là tứ giác nội tiếp(Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp)

b) Xét ΔSAC và ΔSDA có 

\(\widehat{SAC}=\widehat{SDA}\left(=\dfrac{1}{2}sđ\stackrel\frown{AC}\right)\)

\(\widehat{ASC}\) chung

Do đó: ΔSAC\(\sim\)ΔSDA(g-g)

Suy ra: \(\dfrac{SA}{SD}=\dfrac{SC}{SA}\)(Các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

hay \(SA^2=SC\cdot SD\)

Em kiểm tra lại đề câu d, điểm A đã cố định nên đề ko thể là xác định vị trí A được, chỉ có xác định vị trí d qua O sao cho diện tích tam giác kia min thôi

a: góc OBA+góc OCA=180 độ

=>OBAC nội tiếp đường tròn đường kính OA(1)

ΔOMN cân tại O

mà OH là trung tuyến

nên OH vuông góc MN

=>OH vuông góc HA

=>H nằm trên đường tròn đường kính OA(2)

Từ (1), (2) suy ra O,H,B,A,C cùng nằm trên đường tròn đường kính AO

b: Xét ΔABM và ΔANB có

góc ABM=góc ANB

góc BAM chung

=>ΔABM đồng dạng với ΔANB

=>AB/AN=AM/AB

=>AB^2=AN*AM

Xét ΔKCO vuông tại C và ΔKHA vuông tại H có

góc K chung

=>ΔKCO đồng dạng với ΔKHA

=>KC/KH=KO/KA

=>KC*KA=KO*KH

c: góc ABE+góc OBE=90 độ

góc CBE+góc OEB=90 độ

mà góc OBE=góc OEB

nên góc ABE=góc CBE

=>BE là phân giác của góc ABC

mà AE là phan giác góc BAC

nên E cách đều AB,BC,AC

d.

Qua O kẻ đường thẳng song song AC cắt AB tại G, kẻ AH vuông góc TF

Do O, A, B, C cố định nên G cố định \(\Rightarrow S_{OAG}\) cố định

Áp dụng Talet: \(\dfrac{AG}{AF}=\dfrac{TO}{TF}\)  \(\Rightarrow\dfrac{\dfrac{1}{2}OB.AG}{\dfrac{1}{2}OB.AF}=\dfrac{\dfrac{1}{2}AH.TO}{\dfrac{1}{2}AH.TF}\)

\(\Rightarrow\dfrac{S_{OAG}}{S_{OAF}}=\dfrac{S_{OAT}}{S_{AFT}}\Rightarrow S_{OAG}=\dfrac{S_{OAF}.S_{OAT}}{S_{AFT}}\le\dfrac{\left(S_{OAF}+S_{OAT}\right)^2}{4S_{AFT}}=\dfrac{S_{AFT}^2}{4S_{AFT}}=\dfrac{S_{AFT}}{4}\)

\(\Rightarrow S_{AFT}\ge4S_{OAG}\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(S_{OAF}=S_{OAT}\Rightarrow AF=AT\)

\(\Rightarrow AO\) là trung trực FT hay \(d\perp AO\)

Bài 1 : 

a.Ta có MC là tiếp tuyến của (O)

\(\Rightarrow MC\perp OC\)

Mà \(MK\perp KD\Rightarrow\widehat{MCO}=\widehat{MKD}=90^0\Rightarrow OCDK\) nội tiếp 

b.Vì MC là tiếp tuyến của (O) 

\(\Rightarrow\widehat{MCA}=\widehat{MBC}\Rightarrow\Delta MCA~\Delta MBC\left(g.g\right)\)

\(\Rightarrow\frac{MC}{MB}=\frac{MA}{MC}\Rightarrow MC^2=MA.MB\)

c . Vì MO∩(O)=AB \(\Rightarrow AB\) là đường kính của (O)

\(\Rightarrow AC\perp BC\Rightarrow\widehat{BCD}+\widehat{MCA}=90^0\Rightarrow\widehat{BCD}=90^0-\widehat{MCA}\)

Mà \(\widehat{MCA}=\widehat{MBC}\Rightarrow\widehat{MCD}=90^0-\widehat{ABN}=\widehat{BNK}=\widehat{CND}\)

\(\Rightarrow\Delta DCN\) cân 

d ) Ta có : \(\widehat{BFD}=90^0=\widehat{BKD}\) vì AB là đường kính của (O)

\(\Rightarrow BKFD\) nội tiếp 

\(\Rightarrow\widehat{FDK}=\widehat{KBF}=\widehat{ABC}+\widehat{CBF}=\widehat{MCA}+\widehat{FCD}=\widehat{DCE}\)

\(+\widehat{FCD}=\widehat{FCE}\)

Vì MC là tiếp tuyến của (O)

\(\Rightarrow CEDF\) nội tiếp 

giúp em đi ạ