\(x^2=\left(y+1\right)^2+12\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y-1\right)\left(x+y+1\right)=12\)

Do \(x,y\in N\)^* nên \(x-y-1;x+y+1\inƯ\left(12\right)\) và \(x+y+1\ge1+1+1=3\)

TH1: \(x+y+1=12\Rightarrow x-y-1=1\)

\(\Leftrightarrow x=\dfrac{13}{2};y=\dfrac{9}{2}\) (ktm)

TH2:\(x+y+1=6;x-y-1=2\)

\(\Leftrightarrow x=4;y=1\) (thỏa mãn)

TH3: \(x+y+1=4;x-y-1=3\)

\(\Leftrightarrow x=\dfrac{7}{2};y=-\dfrac{1}{2}\) (ktm)

TH4: \(x+y+1=3;x-y-1=4\) (ktm)

Vậy \(x=4;y=1\)

\(x^2=y^2+2y+13\)

\(\Leftrightarrow x^2=y^2+2y+1+12\)

\(\Leftrightarrow x^2=\left(y+1\right)^2+12\)

\(\Leftrightarrow x^2-\left(y+1\right)^2=12\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y-1\right)\left(x+y+1\right)=12\)

Vi x;y nguyên dương

\(\Rightarrow\left(x-y-1\right);\left(x+y+1\right)\in B\left(12\right)=\left\{1;2;3;4;6;12\right\}\left(x-y-1< x+y+1\right)\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y+1\in\left\{12;6;4\right\}\\x-y-1\in\left\{1;2;3\right\}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\in\left\{\dfrac{13}{2};4;\dfrac{7}{2}\right\}\\y\in\left\{\dfrac{9}{2};1;-\dfrac{1}{2}\right\}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=4\\y=1\end{matrix}\right.\) (x;y nguyên dương)

Vậy \(\left(x;y\right)\in\left(4;1\right)\) thỏa mãn đề bài

Gọi số cần tìm là A

Ta xét các trường hợp

voi x, y lẻ thì tử lẻ mẫu chẵn nên A không phải số nguyên vì tử không chia hết cho mẫu

voi ít nhất x, y là chẵn thì A luôn là số chẵn nếu tử chia hết cho mẫu

Ma số nguyên tố chẵn duy nhất là 2 nên A = 2

ta thấy x = 1 không phải là số cần tìm nên ta xét x >= 2

Ta có x²y² = 2x² + 2y²

<=> x²(y² - 2) = 2y²

<=> x² = (2y²)/(y² - 2) \(\ge\) 4

<=> y² >= 2y² - 4 

<=> y² <= 4

vi y nguyên dương nên y = 1 hoặc 2 thế vào ta tìm được giá trị (x; y) = (2;2)

Gọi số cần tìm là A

Ta xét các trường hợp

voi x, y lẻ thì tử lẻ mẫu chẵn nên A không phải số nguyên vì tử không chia hết cho mẫu

voi ít nhất x, y là chẵn thì A luôn là số chẵn nếu tử chia hết cho mẫu

Ma số nguyên tố chẵn duy nhất là 2 nên A = 2

ta thấy x = 1 không phải là số cần tìm nên ta xét x >= 2

Ta có x2y2 = 2x2 + 2y2

<=> x2(y2 - 2) = 2y2

<=> x2 = (2y2)/(y2 - 2) ≥ 4

<=> y2 >= 2y2 - 4 

<=> y2 <= 4

vi y nguyên dương nên y = 1 hoặc 2 thế vào ta tìm được giá trị (x; y) = (2;2)

 Biến đổi bt tương đương : (x^2-1)/2 =y^2 
Ta có: vì x,y là số nguyên dương nên 
+) x>y và x phải là số lẽ. 
Từ đó đặt x=2k+1 (k nguyên dương); 
Biểu thức tương đương 2*k*(k+1)=y^2 (*); 
Để ý rằng: 
Y là 1 số nguyên tố nên y^2 sẽ là 1 số nguyên dương mà nó có duy nhất 3 ước là : 
{1,y, y^2} ; 
từ (*) dễ thấy y^2 chia hết cho 2, dĩ nhiên y^2 không thể là 2, vậy chỉ có thể y=2 =>k=1; 
=>x=3. 
Vậy ta chỉ tìm được 1 cặp số nguyên tố thoả mãn bài ra là x=3 và y=2 (thoả mãn).

Ta có :\(\left(x\right).\left(5-2y\right)=18\)

\(=>x;5-2y\inƯ\left(18\right)\)

Ta có bảng sau :

Tự làm nốt :v lười quá ~

Cách khác dành cho nx người thick logic 

\(x\left(5-2y\right)=18\)

\(TH1:\Leftrightarrow x=1\)

\(\Leftrightarrow5-2y=18\Leftrightarrow2y=-13\Leftrightarrow x=-\frac{13}{2}\)

\(Th2:\Leftrightarrow x=18\)

\(\Leftrightarrow5-2y=1\Leftrightarrow2y=4\Leftrightarrow y=2\)

\(Th3:\Leftrightarrow x=6\)

\(\Leftrightarrow5-2y=3\Leftrightarrow2y=2\Leftrightarrow y=1\)

\(Th4:\Leftrightarrow x=9\)

\(\Leftrightarrow5-2y=2\Leftrightarrow2y=3\Leftrightarrow y=\frac{3}{2}\)