Với \(x=0\Rightarrow n^5+n^4+1=1\left(loai\right)\)

Với \(x=1\Rightarrow n^5+n^4+1=3\left(TM\right)\)

Với \(x\ge2\) ta có:

\(n^5+n^4+1\)

\(=n^5-n^2+n^4-n+n^2+n+1\)

\(=n^2\left(n^3-1\right)+n\left(n^3-1\right)+\left(n^2+n+1\right)\)

\(=n^2\left(n-1\right)\left(n^2+n+1\right)+n\left(n-1\right)\left(n^2+n+1\right)+\left(n^2+n+1\right)\)

\(=A\cdot\left(n^2+n+1\right)+B\left(n^2+n+1\right)+\left(n^2+n+1\right)\)

\(=\left(n^2+n+1\right)\left(A+B+1\right)\) là hợp số với mọi \(n\ge2\)

Vậy \(n=1\)

Với \(n=0\Rightarrow A=n^8+n+1=1\left(KTM\right)\) vì 1 không là SNT

Với \(n=1\Rightarrow A=n^8+n+1=3\left(TM\right)\) vì 3 là SNT

Với \(n\ge2\) ta có:

\(A=n^8+n+1\)

\(=\left(n^8-n^2\right)+n^2+n+1\)

\(=n^2\left(n^6-1\right)+\left(n^2+n+1\right)\)

\(=n^2\left[\left(n^3\right)^2-1^2\right]+\left(n^2+n+1\right)\)

\(=n^2\left(n^3-1\right)\left(n^3+1\right)+\left(n^2+n+1\right)\)

\(=X\cdot\left(n^3-1\right)+\left(n^2+n+1\right)\)

\(=X\left(n-1\right)\left(n^2+n+1\right)+\left(n^2+n+1\right)\)

\(=X'\left(x^2+n+1\right)+\left(n^2+n+1\right)\)

\(=\left(n^2+n+1\right)\left(X'+1\right)\) là hợp số với \(n\ge2\)

Vậy \(n=1\)

1) Để n⁵+n⁴+1 là số chính phương thì \(\orbr{\begin{cases}n^2+n+1=1\\n^5+n^4+1=n^2+n+1\end{cases}}\)

TH1: \(n^2+n+1=1\Leftrightarrow n\left(n+1\right)=0\Leftrightarrow n=0\left(n\inℕ\right)\)

Thử lại sai

TH2: \(n^2+n+1=n^5+n^4+1\)

\(\Leftrightarrow n^5-n^2+n^4-n=0\)

\(\Leftrightarrow n\left(n^3-1\right)\left(n+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}n=1\\n=0\end{cases}}\)

Thử lại thấy n=1 thỏa mãn

Vậy n=1

Cái này thì chắc chắn là không có số n nào thỏa mãn rồi bạn

Bởi vì (n+5)(n+1) ko bao giờ là số nguyên tố

+ Với \(n=1\)\(\Rightarrow\)\(n+5=1+5=6\)( Là hợp số, loại )

+ Với \(n=2\)\(\Rightarrow\)\(\hept{\begin{cases}n+1=2+1=3\\n+5=2+5=7\\n+9=2+9=11\end{cases}}\)( TM )

+ Với \(n=3\)\(\Rightarrow\)\(n+5=3+5=8\)( Là hợp số, loại )

+ Với \(n>3\)thì n có dạng \(\hept{\begin{cases}n=3k+1\\n=3k+2\end{cases}}\)\(\left(k>0\right)\)

+ Với \(n=3k+1\)\(\Rightarrow\)\(n+5=3k+6=3.\left(k+2\right)⋮3\)( Là hợp số, loại )

Vậy \(n=2\)

\(B=n^5+n^4+1=n^5-n^2+n^4-n+n^2+n+1\)

\(=n^2\left(n-1\right)\left(n^2+n+1\right)+n\left(n-1\right)\left(n^2+n+1\right)+n^2+n+1\)

\(=\left(n^2+n+1\right)\left(n^3-n+1\right)\)

+) Với \(n=0\Rightarrow B=1\)không là số nguyên tố (loại)

+) Với \(n=1\Rightarrow B=3\)là số nguyên tố(thỏa mãn)

+) Với \(n\ge2\left(n\in N\right)\Rightarrow n^3-n+1\ge n^2+n+1\ge7\)

Do đó B là hợp số

 Vậy n=1 là giá trị cần tìm.

 Ta có:\(n^5+n^4+1=n^5+n^4+n^3-n^3+1\)

\(=n^3\left(n^2+n+1\right)-\left(n-1\right)\left(n^2+n+1\right)\)

\(=\left(n^2+n+1\right)\left(n^3-n-1\right)\)

Đk để là số nguyên tố thì:

\(n^2+n+1=1\)hoặc \(n^3-n-1=1\)

Xét \(n^2+n+1=1\Rightarrow n^2+n=0\Rightarrow\orbr{\begin{cases}n=1\left(tm\right)\\n=-1\left(ktm\right)\end{cases}}\)

Xét \(n^3-n+1=1\Rightarrow n^3-n=0\Rightarrow n\left(n^2-1\right)=0\)

                                                                \(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}n=0\left(tm\right)\\\orbr{\begin{cases}n=1\left(tm\Rightarrow\right)\\n=-1\left(ktm\right)\end{cases}}\end{cases}}\)\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}n=0\left(tm\right)\\n=1\left(tm\right);n=-1\left(ktm\right)\end{cases}}\)

Tại \(n=0\Rightarrow A=1\left(ktm\right)\)Vì 1 không phải số ngto

Tại\(n=1\Rightarrow A=3\left(tm\right)\)vì 3 là số ngto

Vậy ...

Bài 2

Xét k=0 thì 31k=0(loại)

Xét k=1 thì 31k=31(chọn)

Xét k>1 thì 31k có 2 ước trở lên(loại)

Vậy k=1

k=1

n=2,3,5

Em tham khảo!

Câu 3: Câu hỏi của trần như - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath

Câu 2: Câu hỏi của Hoàng Bình Minh - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath