a) a² = bc

\(\Rightarrow\frac{a}{c}=\frac{b}{a}\)

\(\Rightarrow\frac{a}{c}=\frac{b}{a}=\frac{a+b}{c+a}=\frac{a-b}{c-a}\)

\(\Rightarrow\frac{a+b}{a-b}=\frac{c+a}{c-a}\)

b) a² = bc

\(\Rightarrow\frac{a}{b}=\frac{c}{a}\)

\(\Rightarrow\frac{a^2}{b^2}=\frac{c^2}{a^2}=\frac{a}{b}.\frac{c}{a}=\frac{c}{b}\)

\(\Rightarrow\frac{a^2+c^2}{b^2+a^2}=\frac{c}{b}\)

Áp dụng BĐT \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\) , ta được : 

\(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}\ge\frac{4}{2b}=\frac{2}{b}\)

\(\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}\ge\frac{4}{2c}=\frac{2}{c}\)

\(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{c+a-b}\ge\frac{4}{2a}=\frac{2}{a}\)

Cộng các BĐT trên theo vế : \(2\left(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}\right)\ge2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)

\(\Rightarrow\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)

Dấu "=" xảy ra khi a = b = c => Tam giác đó là tam giác đều.

Cho a,b.c là 3 cạnh 1 tam giác. CMR: 1 / a+b−c + 1 / b+c−a + 1 / c+a−b ≥ 1 / a +1 / b +1 / c 

Áp dụng BĐT 1 / x +1 / y ≥ 4 / x+y  , ta được : 

1 / a+b−c + 1 / b+c−a ≥ 4 / 2b = 2 / b 

1 / b+c−a +1 / c+a−b ≥ 4 / 2c = 2 / c 

1 / a+b−c +1 / c+a−b ≥ 4 / 2a = 2 / a 

Cộng các BĐT trên theo vế : 2( 1 / a+b−c + 1 / b+c−a + 1 / c+a−b ) ≥ 2( 1 / a + 1 / b + 1 / c )

⇒ 1 / a+b−c + 1 / b+c−a + 1 / c+a−b  ≥ 1 / a + 1 / b + 1 / c 

Dấu "=" xảy ra khi a = b = c => Tam giác đó là tam giác đều.

Áp dụng BĐT  x 1 + y 1 ≥ x + y 4  , ta được :  a + b − c 1 + b + c − a 1 ≥ 2b 4 = b 2 b + c − a 1 + c + a − b 1 ≥ 2c 4 = c 2 a + b − c 1 + c + a − b 1 ≥ 2a 4 = a 2 Cộng các BĐT trên theo vế : 2 a + b − c 1 + b + c − a 1 + c + a − b 1 ≥ 2 a 1 + b 1 + c 1 ⇒ a + b − c 1 + b + c − a 1 + c + a − b 1 ≥ a 1 + b 1 + c 1 Dấu "=" xảy ra khi a = b = c => Tam giác đó là tam giác đều.\(Áp dụng BĐT  x 1 + y 1 ≥ x + y 4  , ta được :  a + b − c 1 + b + c − a 1 ≥ 2b 4 = b 2 b + c − a 1 + c + a − b 1 ≥ 2c 4 = c 2 a + b − c 1 + c + a − b 1 ≥ 2a 4 = a 2 Cộng các BĐT trên theo vế : 2 a + b − c 1 + b + c − a 1 + c + a − b 1 ≥ 2 a 1 + b 1 + c 1 ⇒ a + b − c 1 + b + c − a 1 + c + a − b 1 ≥ a 1 + b 1 + c 1 Dấu "=" xảy ra khi a = b = c => Tam giác đó là tam giác đều.\)

\(\frac{a+b}{a-b}=\frac{c+a}{c-a}\Rightarrow\frac{a+b}{c+a}=\frac{a-b}{c-a}=\frac{\left(a+b\right)-\left(a-b\right)}{\left(c+a\right)-\left(c-a\right)}=\frac{2b}{2a}=\frac{b}{a}\)

\(\Rightarrow\frac{a+b}{c+a}=\frac{b}{a}=\frac{a+b-b}{c+a-a}=\frac{a}{c}\Rightarrow\frac{b}{a}=\frac{a}{c}\Rightarrow a^2=bc\)

\(\frac{ab}{a+b}=\frac{ac}{a+c}=\frac{bc}{b+c}\Rightarrow\frac{abc}{c\left(a+b\right)}=\frac{abc}{b\left(a+c\right)}=\frac{abc}{a\left(b+c\right)}\)

\(\Rightarrow c\left(a+b\right)=b\left(a+c\right)\Leftrightarrow ac+bc=ab+bc\Rightarrow ac=ab\Rightarrow c=b\) (1)

\(\Rightarrow b\left(a+c\right)=a\left(b+c\right)\Leftrightarrow ab+bc=ab+ac\Rightarrow bc=ac\Rightarrow b=a\) (2)

\(\Rightarrow c\left(a+b\right)=a\left(b+c\right)\Leftrightarrow ac+bc=ab+ac\Rightarrow bc=ab\Rightarrow c=a\) (3)

Từ (1) ; (2) ; (3) => \(a=b=c\) (ĐPCM)

Ta có : 

\(\frac{a+b}{a-b}=\frac{c+a}{c-a}\)\(\Leftrightarrow\)\(\frac{a+b}{c+a}=\frac{a-b}{c-a}\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có : 

\(\frac{a+b}{c+a}=\frac{a-b}{c-a}=\frac{a+b+a-b}{c+a+c-a}=\frac{a+a}{c+c}=\frac{2a}{2c}=\frac{a}{c}\) \(\left(1\right)\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta lại có : 

\(\frac{a+b}{c+a}=\frac{a-b}{c-a}=\frac{a+b-a+b}{c+a-c+a}=\frac{b+b}{a+a}=\frac{2b}{2a}=\frac{b}{a}\) \(\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra : 

\(\frac{a}{c}=\frac{b}{a}\)\(\Rightarrow\)\(a.a=b.c\)\(\Rightarrow\)\(a^2=bc\)

Vậy từ \(\frac{a+b}{a-b}=\frac{c+a}{c-a}\) suy ra \(a^2=bc\)

Chúc bạn học tốt ~ 

Có a+b/a-b = c+a/c-a

hay: (a+b) (c -a) = ( c + a)(a - b)

        ac - a^2 + bc - ab = ac - bc + a^2 - ab

<=>             2bc            =          2a^2

  =>               bc            =           a^2

dự đoán của Thần thánh

\(\frac{ab}{a^2+b^2}=\frac{a^2}{2a^2}=\frac{1}{2}\)

\(VT=\frac{3}{2}+\frac{9}{4}=\frac{12}{8}+\frac{18}{8}=\frac{30}{8}=\frac{15}{4}\)

\(p=\frac{ab}{a^2+b^2}+....+\frac{ca}{c^2+a^2};A=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{A}+\frac{1}{B}+\frac{1}{C}\right)\)

áp dụng BDT cô si ta có

\(\frac{ab}{a^2+b^2}+\frac{\left(a^2+b^2\right)}{\frac{4}{9}}\ge2\sqrt{\frac{ab}{\frac{4}{9}}}=\frac{2}{\frac{2}{3}}\sqrt{ab}=3\sqrt{ab}\)

tương tự với các BDT còn lại suy ra

\(p+\frac{9}{4}\left(2a^2+2b^2+2c^2\right)\ge3\left(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}\right)\)

\(P+\frac{9}{2}\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge3\left(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\right)\)

áp dụng BDT cô si ta có

\(a^2+\frac{1}{9}\ge2\sqrt{\frac{a^2}{9}}=\frac{2a}{3}\)

tương tự với b^2+c^2 ta được

\(a^2+b^2+c^2+\frac{1}{3}\ge\frac{2}{3}\left(a+b+c\right)=\frac{2}{3}\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge\frac{2}{3}-\frac{1}{3}=\frac{1}{3}\) 

" thay 1/3 vào ta được

\(p+\frac{3}{2}\ge3\left(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\right)\)

áp dụng BDT cô si dạng " Rei " " luôn đúng với những bài ngược dấu "

\(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\ge3\sqrt[3]{\sqrt{abc}}=3\sqrt[3]{abc}\)

mà \(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\) 

thay a+b+c=1 vào ta được

\(P+\frac{3}{2}\ge3\Leftrightarrow P\ge\frac{6}{2}-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}\) " 1 "

bây giờ tính nốt con \(A=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)

áp dụng BDT \(\frac{1}{9}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge\frac{1}{a+b+c}\)

\(A=\frac{9}{4}.\frac{1}{9}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge\frac{9}{4}\left(\frac{1}{a+b+c}\right)\)

mà a+b+C=1 suy ra

\(A\ge\frac{9}{4}\) "2"

từ 1 và 2 suy ra

\(VT=P+A\ge\frac{3}{2}+\frac{9}{4}=\frac{12}{8}+\frac{18}{8}=\frac{30}{8}=\frac{15}{4}\)

" đúng với dự đoán của thần thánh "