\(P=\frac{x^{16}}{1}+\frac{y^{16}}{1}+\frac{z^{16}}{1}\ge\frac{\left(x^8+y^8+z^8\right)^2}{1+1+1}\ge\frac{\frac{\left(x^4+y^4+z^4\right)^2}{3}}{3}\ge\frac{\frac{\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{3}}{3}}{3}\ge\frac{\frac{\frac{\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}}{3}}{3}}{3}=3\)

Min P = 3 khi x =y =z =1

vì xyz=1 và x+y+z = 3 

suy ra GTNN của xyz

x=y=z=1

suy ra GTNN của P=3

GTNN = 3 <=> x=y=z=1

kẻ lười biếng nạp card, đi ô tô

\(P=\frac{1}{16}\sum\left(x-\frac{xy^3}{y^3+16}\right)=\frac{1}{16}\sum\left(x-\frac{xy^3}{y^3+8+8}\right)\ge\frac{1}{16}\sum\left(x-\frac{xy^3}{12y}\right)=\frac{1}{16}\sum\left(x-\frac{xy^2}{12}\right)\)

\(\Rightarrow P\ge\frac{1}{16}\left(3-\frac{xy^2+yz^2+zx^2}{12}\right)\)

Không mất tính tổng quát, giả sử \(x=mid\left\{x;y;z\right\}\)

\(\Rightarrow\left(x-y\right)\left(x-z\right)\le0\Leftrightarrow x^2+yz\le xy+xz\)

\(\Leftrightarrow x^2z+yz^2\le xyz+xz^2\Rightarrow xy^2+yz^2+zx^2\le xy^2+xz^2+xyz\le xy^2+xz^2+2xyz\)

\(\Rightarrow xy^2+yz^2+zx^2\le x\left(y+z\right)^2=\frac{1}{2}.2x\left(y+z\right)\left(y+z\right)\le\frac{1}{54}\left(2x+2y+2z\right)^3\)

\(\Rightarrow xy^2+yz^2+zx^2\le4\)

\(\Rightarrow P\ge\frac{1}{16}\left(3-\frac{4}{12}\right)=\frac{1}{6}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\left(x;y;z\right)=\left(1;2;0\right)\) và hoán vị

X : Y = 8 ⇒  X/8 = Y/1 ⇒ X/16 = Y/2 (1)

Z : X = 3 : 16 ⇒ Z/3 = X/16 (2)

Từ (1) và (2) ⇒ X/16 = Y/2 = Z/3

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

X/16 = Y/2 = Z/3 = (X + Y + Z)/(16 + 2 + 3) = 150/21 = 50/7

X/16 = 50/7 ⇒ X = 50/7 . 16 = 800/7

Vậy X = 800/7