cho x,y là 2 số dương và x+y=1
tìm GTNN của biểu thức M=\(\left(x+\frac{1}{x}\right)^2+\left(y+\frac{1}{y}\right)^2\)
các bạn giải giúp mình nhé , bạn nào giải đúng mình tick cho
Cho x, y, z là các số dương. Chứng minh rằng: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge2\left(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}\right)\)
(Bạn nào làm đúng và giải thích rõ thì mình tick cho. Giúp mình nhé )
Áp dụng BĐT \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\)( Với x,y >0)
Nhân cả 2 vế với 2 rồi áp dụng. Ra ngay
cho x,y là 2 số dương và x+y=1
Tìm GTNN của biểu thức M=\(\left(x+\frac{1}{x}\right)^2+\left(y+\frac{1}{y}\right)^2\)
\(M=x^2+y^2+\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+4\)
\(M=\left(1-2xy\right)+\dfrac{1-2xy}{\left(xy\right)^2}+4=\dfrac{1}{\left(xy\right)^2}-\dfrac{2}{xy}-2xy+5\\ \)đặt 1/xy= t \(\left(x+y\right)=1\Rightarrow xy\le\dfrac{1}{4}\Rightarrow t\ge4\)
\(M=t^2-2t-\dfrac{2}{t}+5\)
khi t > 1 hiển nhiên M luôn tăng khi t tăng => \(Mmin=M\left(4\right)=4.4-2.4-\dfrac{2}{4}+5=\dfrac{25}{2}\)
Đẳng thức khi t=4 => xy=1/4 => x=y=1/2
\(\)cho biểu thức :
\(P=\left(\frac{4xy}{y^2-x^2}\right):\left(\frac{1}{y^2-x^2}+\frac{1}{y^2+2xy+x^2}\right)\)
a) rút gọn P
b) nếu x,y là các số thực thỏa mãn :\(3x^2+y^2+2x-2y=1\)hãy tìm tất cả các giá trị nguyên dương của P
CÂU A MÌNH LÀM LƯỢC RỒI CÒN CÂU BCACS BẠN GIÚP MÌNH NHÉ !
\(P=2x\left(x+y\right)=2x^2+2xy\) Với x khác y, x khác -y
\(3x^2+y^2+2x-2y=1\)\(\Leftrightarrow2x^2+2xy+y^2+x^2+1-2xy+2x-2y=2\)
\(\Leftrightarrow P+\left(x-y+1\right)^2=2\)\(\Leftrightarrow P=2-\left(x-y+1\right)^2\le2\)vì \(\left(x-y+1\right)^2\ge0\)với mọi x, y là số thực
Vì P nguyên dương => P=1
Khi đó \(\left(x-y+1\right)^2=1\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x-y+1=-1\\x-y+1=1\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x-y=-2\\x-y=0\left(loai\right)\end{cases}}\)
vì x khác y
Các bạn giải giúp mình bài toán này nha:
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
x,, y, z là các số dương.
\(P=\sqrt[3]{4\left(x^3+y^3\right)}+\sqrt[3]{4\left(x^3+z^3\right)}+\sqrt[3]{4\left(z^3+x^3\right)}+2\left(\frac{x}{y^2}+\frac{y}{z^2}+\frac{z}{x^2}\right)\)
Xin chân thành cảm ơn.
Cho các số dương x,y thỏa mãn x+y=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P=\(\left(2x+\frac{1}{x}\right)^2+\left(2y+\frac{1}{y}\right)^2\)
Giúp mình nhé mn
Áp dụng BĐT \(a^2+b^2\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{2}\) và BĐT \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\) ta có:
\(P=\left(2x+\frac{1}{x}\right)^2+\left(2y+\frac{1}{y}\right)^2\ge\frac{\left(2x+\frac{1}{x}+2y+\frac{1}{y}\right)^2}{2}=\frac{\left(2+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)^2}{2}\)
\(\ge\frac{\left(2+\frac{4}{x+y}\right)^2}{2}=\frac{\left(2+\frac{4}{1}\right)^2}{2}=\frac{6^2}{2}=18\)
Nên GTNN của P là 18 đạt được khi \(x=y=\frac{1}{2}\)
Cho tớ hỏi: vì sao bạn chưng minh được a^2+b^2>=(a+b)^2/2 vậy . Mình không biết rõ chỗ chứng minh bất đẳng thức này
cho 3 số x,y,z dương thỏa mản điều kiện x2+y2=z2. tìm GTNN của biểu thức P=\(\frac{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}{xyz}\)
giải hộ mình đi mai thi rồi
Cho x và y là các số dương thỏa mãn x+y=1.
Tìm giá trị nhỏ nhất của \(A=\left(x+\frac{1}{x}\right)^2+\left(y+\frac{1}{y}\right)^2\)
Các bạn giỏi kiểu bài về phân số thì giúp mình với, mai mình phải nộp bài online cho cô rôi T_T
Cảm ơn các bạn tốt bụng giúp mình né <3333
\(A=\left(x+\frac{1}{x}\right)^2+\left(y+\frac{1}{y}\right)^2\)
\(\ge\frac{\left(x+y+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)^2}{2}\)
\(\ge\frac{\left(x+y+\frac{4}{x+y}\right)^2}{2}\)
\(=\frac{25}{2}\)
Dấu "=" xảy ra tại x=y=1/2
Bạn giải thích rõ hơn được không? Mình không hiểu lắm :(((
Cho \(1\le x< y\le2\) .Tìm GTLN của \(M=\left(x+y\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\)
Các bạn cố gắng giải giúp mình nhé.
Tách M ra sẽ =x/x+x/y+y/x+y/y
=> M=1+1+x/y+y/x
x/y+y/x >= 2 (định lí cauchy)
=> M>=4.
Mà đề bài phải là tìm GTNN nhá !!!
Lạnh Lùng Boy sai rồi , nếu Cô-si thì x = y mà đề bài là x < y -> dấu "=" không xảy ra , đề tìm max là đúng, đợi ít đang nghĩ
Bài 1:Cho 1. Cho x, y, z dương thỏa mãn x + y + z = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
\(P=2\left(x^2+y^2+z^2\right)+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\)
Bài 2:Cho hai số dương x, y thỏa mãn \(x+y\le2\) . Tìm giá trị nhỏ nhất của
\(C=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{7}{xy}+xy\)
Các bạn giải cho mình 1 bài là được rồi mà giải được cả 2 thì càng tốt
Giờ bạn cần bài này nữa không
1. Đặt A = x2+y2+z2
B = xy+yz+xz
C = 1/x + 1/y + 1/z
Lại có (x+y+z)2=9
A + 2B = 9
Dễ chứng minh A>=B
Ta thấy 3A>=A+2B=9 nên A>=3 (khi và chỉ khi x=y=z=1)
Vì x+y+z=3 => (x+y+z) /3 =1
C = (x+y+z) /3x + (x+y+x) /3y + (x+y+z)/3z
C = 1/3[3+(x/y+y/x) +(y/z+z/y) +(x/z+z/x)
Áp dụng bất đẳng thức (a/b+b/a) >=2
=> C >=3 ( khi và chỉ khi x=y=z=1)
P =2A+C >= 2.3+3=9 ( khi và chỉ khi x=y=x=1
Vậy ...........
Câu 2 chưa ra thông cảm