Xét hiệu:

(a + b + c)(x + y + z) - 3(ax + by + cz)

= a(x + y + z) - 3ax + b(x + y + z) - 3by + c(x + y + z) - 3cz

= a(x + y + z - 3x) + b(x + y + z - 3y) + c(x + y + z - 3z)

= a(y + z - 2x) + b(x + z - 2y) + c(x + y - 2z)

= a[(y - x) - (x - z)] + b[(z - y) - (y - x)] + c[(x - z) - (z - y)]

= (y - x)(a - b) + (x - z)(c - a) + (z - y)(b - c) \(\ge0\)

do \(a\ge b\ge c\) và \(x\le y\le z\)

\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)\left(x+y+z\right)\ge3\left(ax+by+cz\right)\left(đpcm\right)\)

thêm một chút nhé

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

a=b=c và x=y=z

Đây là bất đẳng thức Trê-bư-sep nhé :)

Ta có : \(\left(a+b+c\right)\left(x+y+z\right)\ge3\left(ax+by+cz\right)\)

\(\Leftrightarrow a\left(x+y+z\right)-3ax+b\left(x+y+z\right)-3by+c\left(x+y+z\right)-3cz\ge0\)

\(\Leftrightarrow a\left(y+z-2x\right)+b\left(x+z-2y\right)+c\left(x+y-2z\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow a\left(y-x\right)+a\left(z-x\right)+b\left(x-y\right)+b\left(z-y\right)+c\left(x-z\right)+c\left(y-z\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(y-x\right)\left(a-b\right)+\left(z-x\right)\left(a-c\right)+\left(z-y\right)\left(b-c\right)\ge0\)

Bất đẳng thức cuối luôn đúng vì \(\hept{\begin{cases}a\ge b\ge c\\x\le y\le z\end{cases}}\)

Vậy bđt ban đầu dc chứng minh

http://olm.vn/hoi-dap/question/58264.html?auto=1

vào đây thAM khảo nhé.

cách nhanh nhất là nhân tung ra rồi chuyển vế rút gọn là xong

Nhân tung ra chắc mệt muốn chết

Nó là bđt bunyakovsky luôn rồi mà bạn,lên google sẽ có cách chứng minh

Sửa đề:

\(\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge\left(ax+by+cz\right)^2\)

Xét hiệu:

\(\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)-\left(ax+by+cz\right)^2\)

\(=a^2x^2+a^2y^2+a^2z^2+b^2x^2+b^2y^2+b^2z^2+c^2x^2+c^2y^2+c^2z^2-a^2x^2-b^2y^2-c^2z^2-2axby-2axcz-2bycz\)

\(=a^2y^2+a^2z^2+b^2z^2+b^2x^2+c^2y^2+c^2x^2-2axby-2bycz-2axcz\)

\(=\left(a^2y^2-2axby+b^2x^2\right)+\left(a^2z^2-2axcz+c^2x^2\right)+\left(b^2z^2-2bycz+c^2y^2\right)\)

\(=\left(ay-bx\right)^2+\left(az-cx\right)^2+\left(bz-cy\right)^2\ge0\)

=> BĐT luôn đúng

Câu b search google bđt Min-cốp-xki thẳng tiến

Chị ơi!