Ta có: a/b = c/d => a^2/b^2 = c^2/d^2

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số = nhau ta có:

a/b = c/d = a+c/b+d => a^2/b^2 =c^2/d^2 = (a+c/b+d)^2 (1)

a^2/b^2 = c^2/d^2 = a^2+c^2/b^2+d^2 (2)

Từ (1) và (2) => a^2+c^2/b^2+d^2 = (a+c/b+d)^2 (đpcm)

Vì \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\)=>\(\left(\frac{a}{b}\right)^2=\left(\frac{c}{d}\right)^2=\frac{ac}{bd}\)hay \(\frac{a^2}{b^2}=\frac{c^2}{d^2}=\frac{2ac}{2bd}\)

Aps dụng tính chất dãy tỉ số = nhau ta có:

\(\frac{a^2}{b^2}=\frac{c^2}{d^2}=\frac{a^2+2ac+c^2}{b^2+2bd+d^2}=\frac{\left(a+c\right)^2}{\left(b+d\right)^2}=\left(\frac{a+c}{b+d}\right)^2\)

=>đpcm

Ta có:

\(\frac{u+2}{u-2}=\frac{v+3}{v-3}\)

<=> \(\left(u+2\right)\left(v-3\right)=\left(u-2\right)\left(v+3\right)\)

<=> \(uv+2v-3u-6=uv-2v+3u-6\)

<=> \(2v-3u=3u-2v\)

<=> \(2v+2v=3u+3u\)

<=> \(4v=6u\)

<=> \(2v=3u\)

<=> \(\frac{u}{2}=\frac{v}{3}\)

Ta có:

\(\frac{u+2}{u-2}=\frac{v+3}{v-3}\)

\(\Leftrightarrow\left(u+2\right)\left(v-3\right)=\left(u-2\right)\left(v+3\right)\)

Ta có :

\(\frac{a^6}{a^3+a^2b+ab^2}+\frac{b^6}{b^3+b^2c+bc^2}+\frac{c^6}{c^3+ac^2+a^2c}\ge\frac{\left(a^3+b^3+c^3\right)^2}{a^3+a^2b+ab^2+b^3+b^2c+bc^2+c^3+ca^2+c^2a}\)

( BĐT ..... ) 

TA đi cm : \(a^3+ab^2+a^2b+b^3+b^2c+bc^2+c^3+ac^2+a^2c\) \(\le3\left(a^3+b^3+c^3\right)\) 

 (*) CM : \(a^2b+ab^2=ab\left(a+b\right)\le a^3+b^3\) ( cái này tự cm ) 

          Tương tự bc^2 ; b^2c ; ca^2 ; c^2a  ... 

=>\(a^3+ab\left(a+b\right)+b^3+bc\left(b+c\right)+c^3+ac\left(a+c\right)\le a^3+a^3+b^3+b^3+b^3+c^3+c^3+a^3+c^3\)

                                                                                                             = 3 (a^3 + b^3 + c^3 ) 

BĐT được cm . 

Dấu = xảy ra khi a = b= c 

công tử bạc liêu

<-- đầu đường xó chợ

Hình như đề có bị lộn thì phải

Nếu Cm u/2=v/3 thì mik làm đc

Giải:

Ta có: \(\frac{u+2}{u-2}=\frac{v+3}{v-3}\Rightarrow\frac{u+2}{v+3}=\frac{u-2}{v-3}\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
\(\frac{u+2}{v+3}=\frac{u-2}{v-3}=\frac{u}{v}=\frac{2}{3}\)

\(\Rightarrow\frac{u}{v}=\frac{2}{3}\Rightarrow\frac{u}{2}=\frac{v}{3}\)

Vậy \(\frac{u}{2}=\frac{v}{3}\)

thừa cái dòng chữ cuối cùng nhá

ấy ấy 

toán vui tuần này thì pk để cả tuần chứ sao lại có 10p thôi

lạ quá

Hết 10' rùi

\(A=1-\frac{1}{1+2}+\frac{1}{2+3}+\frac{1}{3+4}+...+\frac{1}{18+19}+\frac{1}{19+20}\)

\(A=1-\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+....+\frac{1}{18}-\frac{1}{19}+\frac{1}{19}-\frac{1}{20}\)

\(A=1-\frac{1}{1}-\frac{1}{20}=1-1-\frac{1}{20}=0-\frac{1}{20}=-\frac{1}{20}=-0,05\)

\(A=-0,05\Rightarrow\)A KHÔNG PHẢI SỐ NGUYÊN

Bài 2: Ta có 2 đẳng thức ngược chiều: \(\frac{8\left(a^2+b^2+c^2\right)}{ab+bc+ca}\ge8;\frac{27\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}{\left(a+b+c\right)^3}\le8\)

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(\frac{8\left(a^2+b^2+c^2\right)}{ab+bc+ca}+\frac{27\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}{\left(a+b+c\right)^3}\)\(\ge2\sqrt{\frac{8\left(a^2+b^2+c^2\right)}{ab+bc+ca}.\frac{27\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}{\left(a+b+c\right)^3}}\)

Suy ra BĐT đã cho là đúng nếu ta chứng minh được

\(27\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge8\left(ab+bc+ca\right)\left(a+b+c\right)^3\left(1\right)\)

Sử dụng đẳng thức \(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)=\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)-abc\)và theo AM-GM: \(abc\le\frac{1}{9}\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)\)ta được \(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge\frac{8}{9}\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)\left(2\right)\)

Từ (1)và(2) suy ra ta chỉ cần chứng minh \(3\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge\left(a+b+c\right)^2\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\)đúng=> đpcm

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c

Bài 3:

Ta có 2 BĐT ngược chiều: \(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\ge\frac{3}{2};\sqrt[3]{\frac{abc}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}}\le\sqrt[3]{\frac{1}{8}}=\frac{1}{2}\)

Bổ đề: \(x^3+y^3+z^3+3xyz\ge xy\left(x+y\right)+yz\left(y+z\right)+zx\left(z+x\right)\left(1\right)\forall x,y,z\ge0\)

Chứng minh: Không mất tính tổng quát, giả sử \(x\ge y\ge z\). Khi đó:

\(VT\left(1\right)-VP\left(1\right)=x\left(x-y\right)^2+z\left(y-z\right)^2+\left(x-y+z\right)\left(x-y\right)\left(y-z\right)\ge0\)

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(\left(a+b\right)^2\left(b+c\right)^2\left(c+a\right)^2\ge64\left(abc\right)^2\)\(\Leftrightarrow\frac{abc}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\ge\left[\frac{4abc}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\right]^3\)

Suy ra ta chỉ cần chứng minh \(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}+\frac{4abc}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\ge2\)

\(\Leftrightarrow a\left(a+b\right)\left(a+c\right)+b\left(b+c\right)\left(b+a\right)+c\left(c+a\right)\left(c+b\right)+4abc\)\(\ge2\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\)\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3+3abc\ge ab\left(a+b\right)+bc\left(b+c\right)+ca\left(c+a\right)\)đúng theo bổ đề

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c hoặc a=b,c=0 và các hoán vị

Wow bạn giỏi quá, đúng những bđt mình muốn thấy! Nhưng mà bạn làm được phần cuối không, tại mình chưa giải được.

Bài làm:

Ta có: \(\frac{AH}{HD}+\frac{BH}{HE}+\frac{CH}{HF}\)

\(=\left(\frac{AH}{HD}+1\right)+\left(\frac{BH}{HE}+1\right)+\left(\frac{CH}{HF}+1\right)-3\)

\(=\frac{AH+HD}{HD}+\frac{BH+HE}{HE}+\frac{CH+HF}{HF}-3\)

\(=\frac{AD}{HD}+\frac{BE}{HE}+\frac{CF}{HF}-3\)

\(=\frac{S_{ABC}}{S_{BHC}}+\frac{S_{ABC}}{S_{AHC}}+\frac{S_{ABC}}{S_{AHB}}-3\)

\(=S_{ABC}\left(\frac{1}{S_{BHC}}+\frac{1}{S_{AHC}}+\frac{1}{S_{AHB}}\right)-3\)

\(\ge S_{ABC}\cdot\frac{9}{S_{BHC}+S_{AHC}+S_{AHB}}-3\)

\(=S_{ABC}\cdot\frac{9}{S_{ABC}}-3\)

\(=9-3=6\)

Dấu "=" xảy ra khi H là trọng tâm tam giác ABC

=> Tam giác ABC đều => AB = AC vô lý

=> Không xảy ra dấu bằng

=> đpcm

làm giùm thì được chứ subrice là ko

đéo làm thì thôi ; địt mẹ mày thằng hacker lồn ; mày chỉ có hack phim sex thôi

Ak đề đoạn kia là AB<AC nhé các bạn

Địt mẹ thằng Nhật lồn

Xét \(A=\sqrt{1+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{\left(a+1\right)^2}}a>0\)

Ta có: \(A^2=1+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{\left(a+1\right)^2}=\frac{a^2\left(a+1\right)^2+\left(a+1\right)^2+a^2}{a^2\left(a+1\right)^2}\)

\(\frac{a^4+2a^2\left(a+1\right)+\left(a+1\right)^2}{a^2\left(a+1\right)^2}=\frac{\left(a^2+a+1\right)^2}{a^2\left(a+1\right)^2}\)

Vì a>0, D>0  nên \(A=\frac{a^2+a+1}{a\left(a+1\right)}=1+\frac{1}{a}-\frac{1}{a+1}\)

Áp dụng ta có: \(D=\sqrt{1+\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}}+\sqrt{1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}}+...+\sqrt{1+\frac{1}{99^2}+\frac{1}{100^2}}\)

\(=\left(1+\frac{1}{1}-\frac{1}{2}\right)+\left(1+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+...+\left(1+\frac{1}{99}-\frac{1}{100}\right)=100-\frac{1}{100}=99,99\)