b)   \(69^2-69.5\)
= 69 . 69 -69 . 5
= 69 . (69 - 5)
=69 . 64
Vì 64 \(⋮\)32 nên 69 . 64 hay \(69^2\)- 69.5 \(⋮\)32

a,8⁸+2²⁰=(2³)⁸+2²⁰=2²⁴+2²⁰=2²⁰.2⁴+2²⁰=2²⁰.(2⁴+1)=2²⁰.17 chia hết cho 17

b,Ta có:13!-11!=(1 x 2 x 3 x 4 x 5 x ............... 11 x 12 x 13)-(1 x 2 x 3 x 4 x 5 x ............ x 11) chia hết cho 5 và 11 nên chia hết cho 55

Ta có : \(a-11b+3c⋮17\)

\(\Leftrightarrow19.\left(a-11b+3c\right)⋮17\)

\(\Leftrightarrow19a-209b+57c⋮17\)

\(\Leftrightarrow\left(17a-204b+51c\right)+\left(2a-5b+6c\right)⋮17\)

\(\Rightarrow\left(2a-5b+6c\right)⋮17\)(vì 17a - 204b + 51c đã chia hết cho 17 ) 

\(\RightarrowĐCPM\) 

Ta có :\(x-y⋮11\Rightarrow3x\left(x-y\right)⋮11\Rightarrow M⋮11\)

Ta có: \(x-y⋮11\Rightarrow\left(x-y\right)\left(x+y\right)⋮11\Rightarrow x\left(x+y\right)-y\left(x+y\right)⋮11\Rightarrow x^2+xy-xy-y^2⋮11\Rightarrow x^2-y^2⋮11\)

\(\Rightarrow-1\left(x^2-y^2\right)⋮11\Rightarrow y^2-x^2⋮11\Rightarrow N⋮11\)

Do đó\(\hept{\begin{cases}M⋮11\\N⋮11\end{cases}}\Rightarrow M-N⋮11\)(đpcm)

Vi x-y chia het cho 11 => 3x.(x-y) chia het cho 11=>M chia het cho 11 (1)

y^2-x^2=(y+x)(y-x).Vi x-y chi het cho 11 => y-x chia het cho11 =>(y+x)(y-x) chia het cho11<=> y^2-x^2 chia het cho 11

=> N chia het cho 11 (2)

Từ (1) và (2)=> M -N chia hết cho 11

=> Đpcm

Ta có abcd=100ab+cd

                  =99ab+ab+cd

                   =9.11 ab+(ab+cd)

 Lại có:9.11.ab chia hết cho 11

ab+cd chia hết cho11

Suy ra 9.11 ab+(ab+cd) chia hết cho 11

        Hay abcd chia hết cho 11 (ĐPCM)    

Ta có : abcd = 100ab + cd = 99ab + ab + cd 

Ta thấy :\(\hept{\begin{cases}99\overline{ab}⋮11\\\left(\overline{ab}+\overline{cd}\right)⋮11\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\)99ab + ab + cd\(⋮\)11

\(\Rightarrow\)abcd \(⋮\)11

a)   \(3^{1994}+3^{1993}-3^{1992}=3^{1992}.\left(3^2+3-1\right)=3^{1992}.11\)     \(⋮\)\(11\)

b) \(4^{13}+32^5-8^8=\left(2^2\right)^{13}+\left(2^5\right)^5-\left(2^3\right)^8\)

\(=2^{26}+2^{25}-2^{24}=2^{24}.\left(2^2+1-1\right)=2^{24}.5\)\(⋮\)\(5\)

p/s: chúc bạn học tốt