1. CHo số nguyên tố p thỏa mãn p+6 cũng là số nguyên tố . Chứng minh \(p^2+2021\) là hợp số
2.Tìm tất cả các số tự nhiên a để \(a^2+3a\) là số chính phương
1. Tìm x;y ∈ N* để \(x^4+4y^4\) là số nguyên tố.
2. Cho n ∈ N* CMR: \(n^4+4^n\) là hợp số với mọi n>1.
3. Cho biết p là số nguyên tố thỏa mãn: \(p^3-6\) và \(2p^3+5\) là các số nguyên tố. CMR: \(p^2+10\) cũng là số nguyên tố.
4. Tìm tất cả các số nguyên tố có 3 chữ số sao cho nếu ta thay đổi vị trí bất kì ta vẫn thu được số nguyên tố.
1.
\(x^4+4y^4=x^4+4x^2y^2+y^4-4x^2y^2=\left(x^2+2y^2\right)^2-\left(2xy\right)^2\)
\(=\left(x^2-2xy+2y^2\right)\left(x^2+2xy+2y^2\right)\)
Do x, y nguyên dương nên số đã cho là SNT khi:
\(x^2-2xy+2y^2=1\Rightarrow\left(x-y\right)^2+y^2=1\)
\(y\in Z^+\Rightarrow y\ge1\Rightarrow\left(x-y\right)^2+y^2\ge1\)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=1\)
Thay vào kiểm tra thấy thỏa mãn
2. \(N=n^4+4^n\)
- Với n chẵn hiển nhiên N là hợp số
- Với \(n\) lẻ: \(\Rightarrow n=2k+1\)
\(N=n^4+4^n=n^4+4^{2k+1}=n^4+4.4^{2k}+4n^2.4^k-n^2.4^{k+1}\)
\(=\left(n^2+2.4^k\right)^2-\left(n.2^{k+1}\right)^2=\left(n^2+2.4^k-n.2^{k+1}\right)\left(n^2+2.4^k+n.2^{k+1}\right)\)
Mặt khác:
\(n^2+2.4^k-n.2^{k+1}\ge2\sqrt{2n^2.4^k}-n.2^{k+1}=2\sqrt{2}n.2^k-n.2^{k+1}\)
\(=n.2^{k+1}\left(\sqrt{2}-1\right)\ge2\left(\sqrt{2}-1\right)>1\)
\(\Rightarrow N\) là tích của 2 số dương lớn hơn 1
\(\Rightarrow\) N là hợp số
Bài 4 chắc không có cách "đại số" nào (tức là dựa vào lý luận chia hết tổng quát) để giải. Mình nghĩ vậy (có lẽ có, nhưng mình ko biết).
Chắc chỉ sáng lọc và loại trừ theo quy tắc kiểu: do đổi vị trí bất kì đều là SNT nên không thể chứa các chữ số chẵn và chữ số 5, như vậy số đó chỉ có thể chứa các chữ số 1,3,7,9
Nó cũng không thể chỉ chứa các chữ số 3 và 9 (sẽ chia hết cho 3)
Từ đó sàng lọc được các số: 113 (và các số đổi vị trí), 337 (và các số đổi vị trí)
Bài 1 ( Dạng 1): Cho p là số nguyên tố và 2 số 8p -1; 8p + 1 là số nguyên tố. Hỏi số thứ 3 là số nguyên tố hay hợp số
Bài 2 ( Dạng 1): Tìm số tự nhiên k để dãy k + 1, k + 2,…,k + 10 chứa nhiều số nguyên tố nhất
Bài 3 ( Dạng 2): Tìm số nhỏ nhất A có 6 ước; 9 ước
Bài 4 ( Dạng 2): Chứng minh rằng: (p – 1)! chia hết cho p nếu p là hợp số, không chia hết cho p nếu p là số nguyên tố.Bài 5 ( Dạng 2): Cho 2m – 1 là số nguyên tố. Chứng minh rằng m cũng là số nguyên tố
Bài 6 ( Dạng 2): Chứng minh rằng: 2002! – 1 có mọi ước số nguyên tố lớn hơn 2002
Bài 7 ( Dạng 3): Tìm n là số tự nhiên khác 0 để:
a) n4+ 4 là số nguyên tố
b) n2003+n2002+1 là số nguyên tố
Bài 8 ( Dạng 3): Cho a,b,c,d thuộc N* thỏa mãn ab = cd. Chứng tỏ rằng số A = an+bn+cn+dn là hợp số với mọi số tự nhiên n
Bài 9 ( Dạng 4): Tìm số nguyên tố p sao cho 2p+1 chia hết cho p
Bài 10 ( Dạng 4): Cho p là số nguyên tố lớn hơn 2. Chứng tỏ rằng có vô số số tự nhiên n thỏa mãn n.2n -1 chia hết cho p
K MIK NHA BN !!!!!!
B1 :Ta biết bình phương của một số nguyên chia cho 3 dư 0 hoặc 1
đơn giản vì n chia 3 dư 0 hoặc ±1 => n² chia 3 dư 0 hoặc 1
* nếu p = 3 => 8p+1 = 8.3 + 1 = 25 là hợp số
* xét p nguyên tố khác 3 => 8p không chia hết cho 3
=> (8p)² chia 3 dư 1 => (8p)² - 1 chia hết cho 3
=> (8p-1)(8p+1) chia hết cho 3
Vì gt có 1 số là nguyên tố nến số còn lại chia hết cho 3, rõ ràng không có số nào là 3 => số này là hợp số
B2:Xét k = 0 thì được dãy số {1 ; 2 ; 10} có 1 số nguyên tố (1)
* Xét k = 1
ta được dãy số {2 ; 3 ; 11} có 3 số nguyên tố (2)
* Xét k lẻ mà k > 1
Vì k lẻ nên k + 1 > 2 và k + 1 chẵn
=> k + 1 là hợp số
=> Dãy số không có nhiều hơn 2 số nguyên tố (3)
* Xét k chẵn , khi đó k >= 2
Suy ra k + 2; k + 10 đều lớn hơn 2 và đều là các số chẵn
=> k + 2 và k + 10 là hợp số
=> Dãy số không có nhiều hơn 1 số nguyên tố (4)
So sánh các kết quả (1)(2)(3)(4), ta kết luận với k = 1 thì dãy có nhiều số nguyên tố nhất
B3:Số 36=(2^2).(3^2)
Số này có 9 ước là:1;2;3;4;6;9;12;18;36
Số tự nhiên nhỏ nhất có 6 ước là số 12.
Cho tập hợp ước của 12 là B.
B={1;2;3;4;6;12}
K MIK NHA BN !!!!!!
Bài 1 ( Dạng 1): Cho p là số nguyên tố và 2 số 8p -1; 8p + 1 là số nguyên tố. Hỏi số thứ 3 là số nguyên tố hay hợp số
Bài 2 ( Dạng 1): Tìm số tự nhiên k để dãy k + 1, k + 2,…,k + 10 chứa nhiều số nguyên tố nhất
Bài 3 ( Dạng 2): Tìm số nhỏ nhất A có 6 ước; 9 ước
Bài 4 ( Dạng 2): Chứng minh rằng: (p – 1)! chia hết cho p nếu p là hợp số, không chia hết cho p nếu p là số nguyên tố.Bài 5 ( Dạng 2): Cho 2m – 1 là số nguyên tố. Chứng minh rằng m cũng là số nguyên tố
Bài 6 ( Dạng 2): Chứng minh rằng: 2002! – 1 có mọi ước số nguyên tố lớn hơn 2002 ( Đây là bài của chịnhunglth đó ạ)
Bài 7 ( Dạng 3): Tìm n là số tự nhiên khác 0 để:
a) n4+ 4 là số nguyên tố
b) n2003+n2002+1 là số nguyên tố
Bài 8 ( Dạng 3): Cho a,b,c,d thuộc N* thỏa mãn ab = cd. Chứng tỏ rằng số A = an+bn+cn+dn là hợp số với mọi số tự nhiên n
Bài 9 ( Dạng 4): Tìm số nguyên tố p sao cho 2p+1 chia hết cho p
Bài 10 ( Dạng 4): Cho p là số nguyên tố lớn hơn 2. Chứng tỏ rằng có vô số số tự nhiên n thỏa mãn n.2n -1 chia hết cho p
Các bạn có thể trả lời vài câu hỏi cũng được.Bạn nào trả lời được nhiều mình sẽ ủng hộ cho nha
1, Tìm các số tự nhiên x,y sao cho: p^x = y^4 + 4 biết p là số nguyên tố
2, Tìm tất cả số tự nhiên n thỏa mãn 2n + 1, 3n + 1 là các số cp, 2n + 9 là các số ngtố
3, Tồn tại hay không số nguyên dương n để n^5 – n + 2 là số chính phương
4, Tìm bộ số nguyên dương ( m,n ) sao cho p = m^2 + n^2 là số ngtố và m^3 + n^3 – 4 chia hết cho p
5, Cho 3 số tự nhiên a,b,c thỏa mãn điều kiện: a – b là số ngtố và 3c^2 = ab +c ( a + b )
Chứng minh: 8c + 1 là số cp
6, Cho các số nguyên dương phân biệt x,y sao cho ( x – y )^4 = x^3 – y^3
Chứng minh: 9x – 1 là lập phương đúng
7, Tìm các số nguyên tố a,b,c sao cho a^2 + 5ab + b^2 = 7^c
8, Cho các số nguyên dương x,y thỏa mãn x > y và ( x – y, xy + 1 ) = ( x + y, xy – 1 ) = 1
Chứng minh: ( x + y )^2 + ( xy – 1 )^2 không phải là số cp
9, Tìm các số nguyên dương x,y và số ngtố p để x^3 + y^3 = p^2
10, Tìm tất cả các số nguyên dương n để 49n^2 – 35n – 6 là lập phương 1 số nguyên dương
11, Cho các số nguyên n thuộc Z, CM:
A = n^5 - 5n^3 + 4n \(⋮\)30
B = n^3 - 3n^2 - n + 3 \(⋮\)48 vs n lẻ
C = n^5 - n \(⋮\)30
D = n^7 - n \(⋮\)42
Bài 1:
a) Tìm số nguyên tố thỏa mãn : (p+4), (p+8) cũng là các số nguyên .
b) Tìm số hữu tỉ a thỏa mãn : 2a + 5a là số tự nhiên và là số chính phương.
Giúp mình nha mọi người.
Cảm ơn bạn Phan Thị Nhã Uyên ~~~
Mọi người giúp em với , em cần gấp =() :
Câu 1 : Tìm số tự nhiên \(n\)để \(5^{2n^2-6n+2}-12\)là số nguyên tố
Câu 2 : Chứng minh rằng không tồn tại các bộ 3 số nguyên \(\left(x;y;z\right)\)thỏa mãn đẳng thức : \(x^4+y^4=7z^4+5\)
Câu 3 : Chứng minh rằng \(\left(a,5\right)=1\)thì \(a^{8n}+3a^{4n}-4\)chia hết cho 100.
Câu 4 : Có hay không số nguyên tố \(p\) thỏa mãn \(8p-1;8p+1\)cũng là số nguyên tố ? Giải thích ?
Câu 5 : Tìm \(n\)nguyên sao cho \(s=n^4+10n^3+40n^2+78n+63\)là số chính phương
Câu 6 : Tìm tất cả số tự nhiên \(n\)để \(n^3-n^2-7n+10\)là số nguyên tố .
Câu 1 bạn dùng chia hết cho 13
Câu 2 bạn cộng cả 2 vế với z^4 rồi dùng chia 8
Câu 3 bạn đặt a^4n là x thì x sẽ chia 5 dư 1 và chia hết cho 4 hoăc chia 4 dư 1
Khi đó ta có x^2+3x-4=(x-1)(x+4)
đến đây thì dễ rồi
Câu 4 bạn xét p=3 p chia 3 dư 1 p chia 3 dư 2 là ra
Câu 6 bạn phân tích biểu thức của đề thành nhân tử có nhân tử x-2
Câu 5 mình nghĩ là kẹp giữa nhưng chưa ra
Câu 1:
Có \(5^{2n^2-6n+2^{ }}=25^{n^2-3n+1}\)
xét 2 th
th1 n chẵn: n^2-3n+1 sẽ lẻ
th2 n lẻ:n^2-3n+1 cũng lẻ
Như vậy n^2-3n+1 lẻ với mọi n
ta sẽ dùng btp a^n+1 chia hết cho a+1 với n lẻ
Bài toán chính:
\(25^{n^2-3n+1}-12=25^{n^2-3n+1}+1-13\)
Dùng bài toán phụ trên có \(25^{n^2-3n+1}+1\)chia hết cho 26 hay cũng chia hết cho 13
Mà \(25^{n^2-3n+1}-12\)là số nguyên tố
Như vậy 25\(25^{n^2-3n+1}-12=13\)
Từ đây tìm n thôi
Câu 2 dễ rồi mình bỏ qua
Câu 3 Có a^4 chia hết cho 4 hoặc chia 4 dư 1
Và a^4 chia 5 dư 1 với a không chia hết cho 5(đây là tính chất đơn giản bạn có thể tự xây dựng được)
nên đặt a^4n là x nghĩa là ta phải chứng minh x^2+3x-4 chia hết cho 100
x^2+3x-4=(x-1)(x+4)
mà x chia 5 dư 1 nên x-1 và x+4 đều chia hết cho 5
nghĩa là (x-1)(x+4) chia hết cho 25(*)
Mà x chia hết cho 4 hoặc chia 4 dư 1
nên (x-1)(x+4) sẽ chia hết cho 4(**)
Từ (*) và (**) ta có đpcm
Câu 4 mình thấy khá dễ nên bạn có thể tự làm được
Câu 5 mình chịu
Câu 6 mình thấy cũng dễ
Chúc bạn thi tốt!
1) Tìm tất cả các số nguyên tố để p^4+8^p cũng là số nguyên tố
2)Có tồn tại 2019 số tự nhiên liên tiếp nào mà tổng các bình phương của 2019 số tự nhiên liên tiếp đó là số chính phương không ?
1.từ ba chữ số 1;3;5 hãy viết số tự nhiên có hai chữ số khác nhau thỏa mãn số đó là :
a)số nguyên tố b) Hợp số2. tìm các ước nguyên tố của 151:
a: 31;13;53
b: 15;35;51
2:
15=3*5
=>\(Ư\left(15\right)=\left\{1;3;5;15\right\}\)
=>Các ước nguyên tố của 15 là 3;5
1:
a:31;13;53
b:15;35;51
2:
15=3*5
=>Ư(15)={1;3;5;15}
=>Các ước nguyên tố của 15 là 3;5
giúp giải khẩn cấp mng ơi:
1.cho stn n có 1995 ước số có 1 ước nguyên tố chẵn. chứng minh n là số chính phương, n chia hết 4
2. cho a là 1 hợp số, khi phân tích ra thừa số nguyên tố a chỉ chứa 2 thừa số nguyên tố khác nhau là p1 và p2. biết a^3 có tất cả 40 ước số. a^2 có bn ước số
3.tìm số tự nhiên n > hoặc = 1 sao cho tổng 1!+2!+3!+...+n! là một số chính phương
4. tìm số tự nhiên n có 2 c.s biết 2n+1 và 3n+1 đều là scp
5. chứng minh:
a)p và q là 2 số nguyên tố lớn hơn 3 thì p^2-q^2chia hết cho 24
b)Nếu a;a+k;a+2k (a và k thuộc N*) là các số nguyên tố lớn hơn 3 thì k chia hết 6
6.a)Một số nguyên tố chia 43 dư r (r là hợp số).TÌm r
b)1 số nguyên tố chia 30 dư r. Tìm r biết r ko là hợp số
Toán lớp 6Phân tích thành thừa số nguyên tố
Đinh Tuấn Việt 20/05/2015 lúc 22:51
Theo đề bài ta có:
a = p1m . p2n $\Rightarrow$⇒ a3 = p13m . p23n.
Số ước của a3 là (3m + 1).(3n + 1) = 40 (ước)
$\Rightarrow$⇒ m = 1 ; n = 3 hoặc m = 3 ; n = 1
Số a2 = p12m . p22n có số ước là [(2m + 1) . (2n + 1)] (ước)
-Với m = 1 ; n = 3 thì a2 có (2.1 + 1) . (2.3 + 1) = 3 . 7 = 21 (ước)
-Với m = 3 ; n = 1 thì a2 có (2.3 + 1) . (2.1 + 1) = 7 . 3 = 21 (ước)
Vậy a2 có 21 ước số.
Đúng 4 Yêu Chi Pu đã chọn câu trả lời này.
nguyên 24/05/2015 lúc 16:50
Theo đề bài ta có:
a = p1m . p2n $$
a3 = p13m . p23n.
Số ước của a3 là (3m + 1).(3n + 1) = 40 (ước)
$$
m = 1 ; n = 3 hoặc m = 3 ; n = 1
Số a2 = p12m . p22n có số ước là [(2m + 1) . (2n + 1)] (ước)
-Với m = 1 ; n = 3 thì a2 có (2.1 + 1) . (2.3 + 1) = 3 . 7 = 21 (ước)
-Với m = 3 ; n = 1 thì a2 có (2.3 + 1) . (2.1 + 1) = 7 . 3 = 21 (ước)
Vậy a2 có 21 ước số.
Đúng 0
Captain America