\(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{6^2}+...+\frac{1}{2016^2}\)

\(=\frac{1}{2^2}.\left(1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{1008^2}\right)< \frac{1}{2^2}.\left(1+\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{1007.1008}\right)\)

                                                                         \(< \frac{1}{4}.\left(1+1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{1007}-\frac{1}{1008}\right)\)

                                                                           \(< \frac{1}{4}.\left(2-\frac{1}{1008}\right)< \frac{1}{4}.2=\frac{1}{2}\)

=> đpcm

Chứng minh bằng phép biến đổi tương đương:

1.

\(\Leftrightarrow4+x+y\ge4\sqrt{x+y}\)

\(\Leftrightarrow x+y-4\sqrt{x+y}+4\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x+y}-2\right)^2\ge0\) (luôn đúng)

Vậy BĐT đã cho đúng

2.

\(\Leftrightarrow\dfrac{y+z}{xyz}\ge\dfrac{4}{x^2+yz}\)

\(\Leftrightarrow\left(y+z\right)\left(x^2+yz\right)\ge4xyz\)

\(\Leftrightarrow x^2y+x^2z+y^2z+z^2y-4xyz\ge0\)

\(\Leftrightarrow y\left(x^2+z^2-2xz\right)+z\left(x^2+y^2-2xy\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow y\left(x-z\right)^2+z\left(x-y\right)^2\ge0\) (đúng)

đặt A=1/3²+1/4²+1/5²+……1/100²

B=1/2.3+1/3.4+...+1/99.100

=1/2-1/3...+1/99-1/100

=1/2-1/100<1/2 (1)

mà A=1/3²+1/4²+1/5²+……1/100²<B=1/2.3+1/3.4+...+1/99.100 (2)

kết hợp từ (1),(2)ta được A<B<1/2

=>A<1/2

\(\frac{1}{3^2}<\frac{1}{2.3}\)

\(\frac{1}{4^2}<\frac{1}{3.4}\)

...

\(\frac{1}{100^2}<\frac{1}{99.100}\)

===>\(\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{100^2}<\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{99.100}=\frac{1}{2}-\frac{1}{100}=\frac{49}{100}<\frac{50}{100}=\frac{1}{2}\)

đây là toán  6 á lớp 6 mà học giai thừa ak

Bạn xem lại xem đã viết biểu thức đúng chưa vậy?

giúp mình với