a: \(\Delta=\left(-5\right)^2-4\cdot1\cdot\left(m-2\right)=25-4m+8=-4m+33\)

Để phương trình có nghiệm thì -4m+33>=0

=>-4m>=-33

hay m<=33/4

Theo đề, ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=5\\x_1-2x_2=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_2=\dfrac{5}{3}\\x_1=\dfrac{10}{3}\end{matrix}\right.\)

Ta có: \(x_1x_2=m-2\)

=>m-2=50/9

hay m=68/9

b: Theo đề, ta có: \(\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=6\)

\(\Leftrightarrow5^2-2\left(m-2\right)=6\)

=>25-2(m-2)=6

=>2(m-2)=19

=>m-2=19/2

hay m=23/2

d: \(\Leftrightarrow\sqrt{\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2}=14\)

\(\Leftrightarrow25-4\left(m-2\right)=196\)

=>4(m-2)=-171

=>m-1=-171/4

hay m=-163/4

PT có nghiệm `<=> \Delta' >=0`

`<=> (m-1)^2-(m^2+2)>=0`

`<=>-2m-1>=0`

`<=>m <= -1/2`

Viet: `x_1+x_2=2m-2`

`x_1x_2=m^2+2`

`x_1^2+x_2^2=10`

`<=>(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=10`

`<=>(2m-2)^2-2(m^2+2)=10`

`<=> 2m^2-8m=10`

`<=>` \(\left[{}\begin{matrix}m=-1\left(TM\right)\\m=5\left(L\right)\end{matrix}\right.\)

Vậy `m=-1`.

Lời giải:

Để pt có 2 nghiệm dương phân biệt thì:

\(\left\{\begin{matrix} \Delta=25-4(m-2)>0\\ S=5>0\\ P=m-2>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow 2< m< \frac{33}{4}\)

Khi đó:

\(2\left(\frac{1}{\sqrt{x_1}}+\frac{1}{\sqrt{x_2}}\right)=3\Leftrightarrow 4(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{2}{\sqrt{x_1x_2}})=9\)

\(\Leftrightarrow 4\left(\frac{5}{m-2}+\frac{2}{\sqrt{m-2}}\right)=9\)

\(\Leftrightarrow 4(5t^2+2t)=9\) với $t=\frac{1}{\sqrt{m-2}}$

$\Rightarrow t=\frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow m=6$ (thỏa)

Lời giải:
Để pt có 2 nghiệm phân biệt $x_1,x_2$ thì:
$\Delta=(m+1)^2+8(m-1)>0$

$\Leftrightarrow m^2+10m-7>0(*)$

Áp dụng định lý Viet:

$x_1+x_2=\frac{m+1}{2}$

$x_1x_2=\frac{m-1}{2}$

Khi đó:
$x_1-x_2=x_1x_2$

$\Rightarrow (x_1-x_2)^2=(x_1x_2)^2$

$\Leftrightarrow (x_1+x_2)^2-4x_1x_2=(x_1x_2)^2$
$\Leftrightarrow (\frac{m+1}{2})^2-2(m-1)=(\frac{m-1}{2})^2$
$\Leftrightarrow m=2$ (thỏa mãn $(*)$)

Vậy......

Bạn có thể tham khảo bài này. Hướng giải tương tự.

https://hoc24.vn/cau-hoi/cho-phuong-trinh-x2-4xm0m-la-tham-soa-tinh-cac-gia-tri-cua-m-de-phuong-trinh-co-cac-nghiem-x1x2-thoa-man-x1-x2-va-x22-x1218.6292592319064

Ta có: \(\Delta=\left[-2\left(m-1\right)\right]^2-4\cdot1\cdot\left(m+1\right)\)

\(=\left(-2m+2\right)^2-4\left(m+1\right)\)

\(=4m^2-8m+4-4m-4\)

\(=4m^2-12m\)

Để phương trình có nghiệm thì \(\text{Δ}\ge0\)

\(\Leftrightarrow4m^2-12m\ge0\)

\(\Leftrightarrow4m\left(m-3\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow m\left(m-3\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m\ge3\\m\le0\end{matrix}\right.\)

Khi \(\left[{}\begin{matrix}m\ge3\\m\le0\end{matrix}\right.\), Áp dụng hệ thức Vi-et, ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\left(m-1\right)=2m-2\\x_1\cdot x_2=m+1\end{matrix}\right.\)

Ta có: \(\dfrac{x_1}{x_2}+\dfrac{x_2}{x_1}=4\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{x_1^2+x_2^2}{x_1\cdot x_2}=4\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2}{x_1x_2}=4\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(2m-2\right)^2-2\cdot\left(m+1\right)}{m+1}=4\)

\(\Leftrightarrow4m^2-8m+4-2m-2=4\left(m+1\right)\)

\(\Leftrightarrow4m^2-10m+2-4m-4=0\)

\(\Leftrightarrow4m^2-14m-2=0\)

Đến đây bạn tự làm nhé, chỉ cần tìm m và đối chiều với điều kiện thôi

Pt có 2 nghiệm

\(\to \Delta=[-2(m-1)]^2-4.1.(m+1)=4m^2-8m+4-4m-4=4m^2-12m\ge 0\)

\(\leftrightarrow m^2-3m\ge 0\)

\(\leftrightarrow m(m-3)\ge 0\)

\(\leftrightarrow \begin{cases}m\ge 0\\m-3\ge 0\end{cases}\quad or\quad \begin{cases}m\le 0\\m-3\le 0\end{cases}\)

\(\leftrightarrow m\ge 3\quad or\quad m\le 0\)

Theo Viét

\(\begin{cases}x_1+x_2=2(m-1)\\x_1x_2=m+1\end{cases}\)

\(\dfrac{x_1}{x_2}+\dfrac{x_2}{x_1}=4\)

\(\leftrightarrow \dfrac{x_1^2+x_2^2}{x_1x_2}=4\)

\(\leftrightarrow \dfrac{(x_1+x_2)^2-2x_1x_2}{x_1x_2}=4\)

\(\leftrightarrow \dfrac{[2(m-1)]^2-2.(m+1)}{m+1}=4\)

\(\leftrightarrow 4m^2-8m+4-2m-2=4(m+1)\)

\(\leftrightarrow 4m^2-10m+2-4m-4=0\)

\(\leftrightarrow 4m^2-14m-2=0\)

\(\leftrightarrow 2m^2-7m-1=0 (*)\)

\(\Delta_{*}=(-7)^2-4.2.(-1)=49+8=57>0\)

\(\to\) Pt (*) có 2 nghiệm phân biệt

\(m_1=\dfrac{7+\sqrt{57}}{2}(TM)\)

\(m_2=\dfrac{7-\sqrt{57}}{2}(TM)\)

Vậy \(m=\dfrac{7\pm \sqrt{57}}{2}\) thỏa mãn hệ thức

PT có 2 nghiệm phân biệt
`<=>Delta'>0`
`<=>(m-1)^2-(m+1)>0`
`<=>m^2-2m+1-m-1>0`
`<=>m^2--3m>0`
`<=>m(m-3)>0`
`<=>` $\left[ \begin{array}{l}\begin{cases}m>0\\m-3>0\\\end{cases}\\\begin{cases}m<0\\m-3<0\\\end{cases}\end{array} \right.$
`<=>` $\left[ \begin{array}{l}\begin{cases}m>0\\m>3\\\end{cases}\\\begin{cases}m<0\\m<3\\\end{cases}\end{array} \right.$
`<=>` $\left[ \begin{array}{l}m>3\\m<0\end{array} \right.$
Vậy m>3 or m<0 thì PT có 2 nghiệm phân biệt

Thay \(x=-3\) vào pt \(x^2-5x+3-m=0\)

\(\Rightarrow\left(-3\right)^2-5\left(-3\right)+3-m=0\Rightarrow27-m=0\Rightarrow m=27\)

\(m=27\Rightarrow x^2-5x+3-27=0\Rightarrow x^2-5x-24=0\)

Giải pt \(x^2-5x-24=0\) ta có 2 nghiệm pb \(\left\{{}\begin{matrix}x=8\\x=-3\end{matrix}\right.\)

Vậy nghiệm còn lại là x = 8.