Ta có \(1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}+...+\dfrac{1}{99}-\dfrac{1}{100}=\left(1+\dfrac{1}{3}+...+\dfrac{1}{99}\right)-\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+...+\dfrac{1}{100}\right)=\left(1+\dfrac{1}{3}+...+\dfrac{1}{99}\right)+\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+...+\dfrac{1}{100}\right)-2.\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+...+\dfrac{1}{100}\right)=\left(1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+...+\dfrac{1}{100}\right)-\left(1+\dfrac{1}{2}+...+\dfrac{1}{50}\right)=\dfrac{1}{51}+\dfrac{1}{52}+...+\dfrac{1}{100}\)

\(\Rightarrow\text{Đ}PCM\)

b, đặt cái 1/21 + 1/22 +1/23+....+1/40 là A nhé và A có 20 hạng tử

Ta  có 1/21 + 1/22 +1/ 23+......+1/30>1/30 +1/30 +....+1/30 =10/30 =1/3(*)

lại có 1/31 + 1/32+.....+1/40>1/40 + 1/40 + 1/40.....=10/40=1/4(**)

từ (*) và (**) => A> 1/3 +1/4

                       A>7/12

từng đó thì phải. Còn < 1/10 thì sai đề vì 7/12 > 1/10 mà.       Mình chỉ cm đc < 5/6 thôi

a, ta có 1/51 + 1/52 + 1/53 + 1/54.....+1/100 > 1/100 + 1/100 + 1/100+......+1/100

=> 1/51 +1/52 +......+1/100 > 50/100 =1/2 ( vì có 50 hạng tử)

tương tự 1/51 + 1/52 +1/53 ..........+1/100 < 1/51 + 1/51 + 1/51 +1/51......

=> 1/51 + 1/52 + 1/53....+1/100 < 50/51 <1 

nên ta suy ra điều phải cm

​Ta có: 151+152+...+175>175+175+...+175=2575=13​

176+177+...+1100>1100+1100+...+1100=25100=14

​=> S>13+14=712​ (1)

Ta có: 151+152+...+175<150+150+...+150=2550=12​

176+177+...+1100<175+175+...+175=2575=13​

=> S<12+13=56 ​(2)

Từ (1) và (2) => 712​ < S<56 ​( đpcm )

Ta có:

- 1/51 > 1/75, 1/52 > 1/75 ...

=> 1/51 + 1/52 + ... + 1/75 > 1/75 + ... 1/75 = 25/75 = 1/3

- 1/76 > 1/100, 1/77 > 1/100 ...

=> 1/76 + 1/77 + ... + 1/100 > 1/100 + ... + 1/100 = 25/100 = 1/4

Từ đó : S = ( 1/51 + ... + 1/75 ) + ( 1/76 + ... + 1/100 ) > 1/3 + 1/3 = 7/12 (1)

- 1/51 < 1/50, 1/52 < 1/50 ... 

=> 1/51 + 1/52 + ... + 1/75 < 1/50 + ... 1/50 = 25/50 = 1/2

- 1/76 < 1/75, 1/77 < 1/75...

=> 1/76 + 1/77 + ... + 1/100 < 1/75 + ... + 1/75 = 25/75 = 1/3

Từ đó : S = ( 1/51 + ... + 1/75 ) + ( 1/76 + ... + 1/100 ) < 1/2 + 1/3 = 5/6 (2)

từ (1) và (2) => 5/6 > S > 7/12

* Chúc bn học tốt !!!

Bài làm:

Dạ thưa đề B bạn viết sai rồi ạ!

Ta có: \(B=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{3.4}+\frac{1}{5.6}+...+\frac{1}{99.100}\)

\(B=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+...+\frac{1}{99}-\frac{1}{100}\)

\(B=\left(1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+...+\frac{1}{99}\right)-\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+...+\frac{1}{100}\right)\)

\(B=\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{99}+\frac{1}{100}\right)-\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{100}+\frac{1}{100}\right)\)

\(B=\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{99}+\frac{1}{100}\right)-\left(\frac{2}{2}+\frac{2}{4}+\frac{2}{6}+...+\frac{2}{100}\right)\)

\(B=\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{100}\right)-\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{50}\right)\)

\(B=\frac{1}{51}+\frac{1}{52}+\frac{1}{53}+...+\frac{1}{100}=A\)

\(A\div B=1\)

=> đpcm

Học tốt!!!!

ok tks bạn Đăng nhé <33

Cảm ơn bạn Tạ Duy Khoa nhìu ạ!

Sửa đề: \(\dfrac{\dfrac{1}{1\cdot2}+\dfrac{1}{3\cdot4}+...+\dfrac{1}{99\cdot100}}{\dfrac{1}{51}+\dfrac{1}{52}+...+\dfrac{1}{100}}\)

\(=\dfrac{1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}+...+\dfrac{1}{99}-\dfrac{1}{100}}{\dfrac{1}{51}+\dfrac{1}{52}+...+\dfrac{1}{100}}\)

\(=\dfrac{\left(1+\dfrac{1}{3}+...+\dfrac{1}{99}\right)-\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+...+\dfrac{1}{100}\right)}{\dfrac{1}{51}+\dfrac{1}{52}+...+\dfrac{1}{100}}\)

\(=\dfrac{\left(1+\dfrac{1}{3}+...+\dfrac{1}{99}\right)+\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+...+\dfrac{1}{100}\right)-2\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+...+\dfrac{1}{100}\right)}{\dfrac{1}{51}+\dfrac{1}{52}+...+\dfrac{1}{100}}\)

=1

\(\frac{a}{b}=\frac{1}{51}+\frac{1}{52}+\frac{1}{53}+...+\frac{1}{100}\)

\(\frac{a}{b}=\left(\frac{1}{51}+\frac{1}{100}\right)+\left(\frac{1}{52}+\frac{1}{99}\right)+...+\left(\frac{1}{75}+\frac{1}{76}\right)\)

\(\frac{a}{b}=\frac{151}{51.100}+\frac{151}{50.99}+...+\frac{151}{75.76}\)

Chọn mẫu chung = 51.52.53...100

Gọi các thừa số phụ lần lượt là: k₁; k₂; ...; k₂₅

=> \(\frac{a}{b}=\frac{151.\left(k_1+k_2+...+k_{25}\right)}{51.52...100}\)

Do 151 là số nguyên tố mà tích 51.52...100 không chứa thừa số 151 => 51.52....100 không chia hết cho 151

=> đến khi phân số a/b tối giản thì a vẫn chia hết cho 151 (đpcm)

Mik rút gọn cho bn nha

\(\frac{a}{b}=\frac{1}{51.100}+\frac{1}{52.99}+..........+\frac{1}{100.51}\)

\(151.\frac{a}{b}=\frac{1}{51}+\frac{1}{100}+\frac{1}{52}+\frac{1}{99}+......+\frac{1}{100}+\frac{1}{51}\)

\(\Rightarrow\left(151.\frac{a}{b}\right):2=\frac{1}{51}+\frac{1}{52}+\frac{1}{53}+.........+\frac{1}{100}\)

\(\Rightarrow\frac{a}{b}=\frac{2}{151}.\left(\frac{1}{51}+\frac{1}{52}+\frac{1}{53}+.........+\frac{1}{100}\right)\)

Chúc bn hok tốt