I don't now

...............

.................

Giở bài 1 sách giáo khoa toán 9 có phần chứng minh.(sách tập 1 )

thánh yasuo lmht có nhầm ko nhỉ, trong sgk toán 9 bài 1 làm gì có, bạn có chịu đọc đề ko vậy hay là chỉ lo pic lock da- sủa ?

Vì ABCD là hình vuông (giả thiết).

\(\Rightarrow AB=BC=CD=DA\)(tính chất)

Và \(AB//CD\)(tính chất)  \(\Rightarrow AB//DF\).

Và \(AD//CE\)(tính chất) \(\Rightarrow CE//AD\)

\(AB//DF\)(chứng minh trên)

\(\frac{AB}{AE}=\frac{FC}{FE}\)(hệ quả của định lí Ta-lét)

\(\Rightarrow\frac{AD}{AE}=\frac{FC}{FE}\)(vì \(AB=AD\))

\(\Rightarrow\frac{AD^2}{AE^2}=\frac{FC^2}{FE^2}\left(1\right)\)

Vì \(AB//CF\)(giả thiết)

\(\Rightarrow\frac{BE}{CE}=\frac{AE}{FE}\)(hệ quả của định lí Ta-lét) (2)

\(\Rightarrow\frac{BE}{CE+BE}=\frac{AE}{FE+AE}\)(tính chất của tỉ lệ thức)

\(\Rightarrow\frac{BE}{BC}=\frac{AE}{AF}\)\(\Rightarrow\frac{BE}{AD}=\frac{AE}{AF}\)(vì \(AD=BC\))

\(\Rightarrow\frac{AD}{AF}=\frac{BE}{AE}\)(tính chất của tỉ lệ thức)

Từ (2) \(\Rightarrow\frac{BE}{AE}=\frac{CE}{FE}\)(tính chất của tỉ lệ thức)

Do đó \(\frac{AD}{AF}=\frac{CE}{FE}\Rightarrow\frac{AD^2}{AF^2}=\frac{CE^2}{FE^2}\left(3\right)\)

Từ (1) và (3)

\(\Rightarrow\frac{AD^2}{AE^2}+\frac{AD^2}{AF^2}=\frac{FC^2}{FE^2}+\frac{CE^2}{FE^2}\)

\(\Rightarrow AD^2\left(\frac{1}{AE^2}+\frac{1}{AF^2}\right)=\frac{FC^2+CE^2}{FE^2}\)

Vì ABCD là hình vuông (giả thiết)

\(\Rightarrow BC\perp CD\)(tính chất)\(\Rightarrow EC\perp DF\)

Do đó \(\Delta CEF\)vuông tại C.

\(\Rightarrow CE^2+CF^2=EF^2\)(định lí Py-ta-go)

Do đó: \(AD^2\left(\frac{1}{AE^2}+\frac{1}{AF^2}\right)=\frac{FE^2}{FE^2}=1\)

\(\Rightarrow\frac{1}{AE^2}+\frac{1}{AF^2}=\frac{1}{AD^2}\)(điều phải chứng minh).

Dựng điểm H thuộc tia CD sao cho $DH=BE.$.
Ta có $\Delta ABE=\Delta ADH\left(c-g-c\right)\Rightarrow AE=AH$.
Áp dụng hệ thức lượng cho tam giác AHF: \widehat{HAF}=90^o;AD\perp HFHAF=90o;AD⊥HF.
Ta có \dfrac{1}{AH^2}+\dfrac{1}{AF^2}=\dfrac{1}{AD^2}AH21​+AF21​=AD21​ nên \dfrac{1}{AE^2}+\dfrac{1}{AF^2}=\dfrac{1}{AD^2}AE21​+AF21​=AD21​

a, Ta có: BAE + DAE = BAD  => BAE + DAE = 90^o   

và IAD + DAE = IAE  => IAD + DAE = 90^o 

=> BAE = IAD

Xét △ABE vuông tại B và △ADI vuông tại D

Có: AB = AD (ABCD là hình vuông)

      BAE = DAI (cmt)

=> △ABE = △ADI (cgv-gnk)

=> AE = AI (2 cạnh tương ứng)

=> △AEI cân tại A

Mà IAE = 90^o

=> △AEI vuông cân tại A

=> AEI = 45^o

b, Xét △ABE có: AB² + BE² = AE² (định lý Pytago)

Vì AB // CD (ABCD là hình vuông) => \(\frac{AE}{EF}=\frac{BE}{EC}\)(định lý Thales)  \(\Rightarrow\frac{AE}{AF}=\frac{BE}{BC}\)

\(\Rightarrow\frac{AE}{AF}=\frac{BE}{AB}\) (BC = AB <= ABCD là hình vuông )\(\Rightarrow AF=\frac{AE.AB}{BE}\) 

Ta có: \(\frac{1}{AE^2}+\frac{1}{AF^2}=\frac{1}{AE^2}+\frac{1}{\left(\frac{AE.AB}{BE}\right)^2}=\frac{1}{AE^2}+\frac{BE^2}{AE^2.AB^2}=\frac{AB^2}{AE^2.AB^2}+\frac{BE^2}{AE^2.AB^2}\)

\(=\frac{AB^2+BE^2}{AE^2.AB^2}=\frac{AE^2}{AE^2.AB^2}=\frac{1}{AB^2}\) (đpcm)

c, Xét △ABE vuông tại B có: AE > AB (quan hệ giữa cạnh huyền và cạnh góc vuông) => AE² > AB²  \(\Rightarrow\frac{1}{2}.AE^2>\frac{1}{2}.AB^2\)

\(\Rightarrow\frac{1}{2}.AE.AI>\frac{1}{2}.a^2\)\(\Rightarrow S_{\text{△}AEI}>\frac{1}{2}a^2\)

Bài này ngó qua ngó lại thì không khó lắm. Tối giải nha. 

từ A kẻ đường thắng vuông góc AF cắt BC tại K 

ta có góc BAK = góc DAF ( cùng phụ vs góc BAE)

Xét tam giác BKA và tam giác DFA có

       góc ADF= góc ABK ( =90 độ )

    AB=AD

   góc BAK = góc DAF

=> tam giác BKA và DFA là 2 tam giác = nhau 

=> AK=AF ( các cạnh tương ứng )

  tam giác AEK vuông tại A có đường cao AB 

=> \(\frac{1}{AB^2}=\frac{1}{AK^2}+\frac{1}{AE^2}\)( hệ thức lượng trong tam giác vuông )

=>\(\frac{1}{AB^2}=\frac{1}{AF^2}+\frac{1}{AE^2}\)( đpcm)