Cho tứ diện ABCD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Tìm giá trị của k thích hợp điền vào đẳng thức vecto: \(\overrightarrow{MN}=k\left(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}\right)\)
A. \(k=\dfrac{1}{3}\)
B. \(k=3\)
C. \(k=2\)
D. \(k=\dfrac{1}{2}\)
Cho tứ diện ABCD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Tìm giá trị của k thích hợp điền vào đẳng thức vecto: \(\overrightarrow{MN}=k\left(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}\right)\)
A. \(k=\dfrac{1}{3}\)
B. \(k=3\)
C. \(k=2\)
D. \(k=\dfrac{1}{2}\)
Cho tứ diện ABCD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Tìm giá trị của k thích hợp điền vào đẳng thức vecto: \(\overrightarrow{MN}=k\left(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}\right)\)
A. \(k=\dfrac{1}{3}\)
B. \(k=3\)
C. \(k=2\)
D. \(k=\dfrac{1}{2}\)
\(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{NC}+\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{ND}\)
\(=2\overrightarrow{MN}+\left(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BM}\right)+\left(\overrightarrow{NC}+\overrightarrow{ND}\right)\)
\(=2\overrightarrow{MN}\)
\(\Rightarrow k=\dfrac{1}{2}\)
Cho cho tứ giác lồi $A B C D$. Gọi $E, F$ lần lượt là trung điểm của $A B, C D$ và $G$ là trung điểm $E F$. Chứng minh rằng:
a) $\overrightarrow{A C}+\overrightarrow{B D}=\overrightarrow{A D}+\overrightarrow{B C}=2 \overrightarrow{E F}$.
b) $\overrightarrow{G A}+\overrightarrow{G B}+\overrightarrow{G C}+\overrightarrow{G D}=\overrightarrow{0}$
a ) Ta có: FC + FD = EB + EA (=0)
=> AC - AF + AD - AF = EA + AB + EA
=> AC + BA + AD = EA + AF + EA +AF
=> AC + BD = EF + EF
=> AC + BD = 2EF ( 1 )
Ta lại có : AB = AC + CB ( quy tắc 3 điểm ) ; AB = AD + DB ( quy tắc 3 điểm )
=> AC + CB = AD + DB
=> AC - DB = AD - CB
=> AC + BD = AD + BC ( 2 )
Từ (1),(2) => AC + BD = AD + BC = 2EF
b ) Ta có: GE + GF + GE + GF = 0
=> GA + AE + GC + CF + GB + BE + GD + DF = 0
=> GA + GC + GD + GB = - AE - CF - BE - DF
=> GA + GB + GC + GD = EA + EB + FC + FD
mà E , F lần lượt là trung điểm AB , DC => EA + EB = 0 ; FD + DC = 0
Vậy => GA + GB + GC + GD = 0 + 0 = 0
Cho tam giác $A B C$ có trung tuyên $A M$. Gọi $I$ là trung điếm của $A M$ và $K$ là điếm trên cạnh $A C$ sao cho $A K=\dfrac{1}{3} A C$. Chứng minh rằng ba điểm $B, I, K$ thẳng hàng. Ta có $\overrightarrow{B I}=\dfrac{1}{2}(\overrightarrow{B A}+\overrightarrow{B M})=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{B A}+\dfrac{1}{2} \overrightarrow{B C}\right)$
Cho tam giác $A B C$. Vē $D$ đối xứng với $A$ qua $B, E$ đối xứng với $B$ qua $C$ và $F$ đối xứng với $C$ qua $A$. Gọi $G$ là giao điểm của trung tuyến $A M$ của tam giác $A B C$ với trung tuyến $D N$ của tam giác $D E F$. Gọi $I$ và $K$ lần lượt là trung điểm $G A$ và $G D$. Chứng minh rằng:
a) $\overrightarrow{A B}=\overrightarrow{N M}$.
b) $\overrightarrow{M K}=\overrightarrow{N I}$.
Nối A vs N
a)xét tg CEF có: N là t/đ của EF(gt) và A là t/đ của FC (vì C đx vs F qua A) => AN là đg trung bình của tg CEF
=> AN//CE và AN =1/2. CE
=> AN=1/2.BC(vì BC = CE) => AN =BM(vì BM = 1/2. BC)
xét tg ANMB có: AN=MB (cmt) và AN//MB ( vì AN// CE ; B,M,C,E thẳng hàng) => tg ANMB là hbh=> MN//AB và AB=MN (1) ;
xét tg AGD có: I là t/đ của AG (gt) và K là t/đ của DG(gt) => IK là đg trung bình của tg AGD => IK=1/2.AD và IK //AD
Mà B là t/đ của AD (vì A đx vs D qua B) => AB=BD=1/2.AD=> IK=AB ( =1/2.AD) (2)
Từ (1),(2)=> IK=MN
Ta có: MN// AB(cmt) ; B thuộc AD => MN//AD
Xét tg MNIK có: IK=MN (cmt) và IK//MN (cùng // AD)
=> tg MNIK là hbh (đpcm)
b) Do tg MNIK là hbh ( câu a) mà G là gđ của IM và KN nên G là t/đ của IM là KN
=> IG=MG và KG=NG
Mặt khác: I là t/đ của AG(gt)=> IG=AI=> AI=IG=GM
K là t/đ của DG(gt) => Dk=KG => DK=KG=GN
xét tg ABC có: AM là đg trung tuyến (gt) và AI=IG=GM (cmt) => G là trọng tâm của tg ABC (*)
xét tg DEF có: DN là đg trung tuyến (gt) và DK=KG=GN(cmt) => G là trọng tâm của tg DEF (**)
Từ (*),(**) => G vừa là trọng tam của tg ABC vừa là trọng tâm của tg DEF
=> Tg ABC và tg DEF có cùng trọng tâm là G (đpcm)
Nối A vs N
a)xét tg CEF có: N là t/đ của EF(gt) và A là t/đ của FC (vì C đx vs F qua A) => AN là đg trung bình của tg CEF
=> AN//CE và AN =1/2. CE
=> AN=1/2.BC(vì BC = CE) => AN =BM(vì BM = 1/2. BC)
xét tg ANMB có: AN=MB (cmt) và AN//MB ( vì AN// CE ; B,M,C,E thẳng hàng) => tg ANMB là hbh=> MN//AB và AB=MN (1) ;
xét tg AGD có: I là t/đ của AG (gt) và K là t/đ của DG(gt) => IK là đg trung bình của tg AGD => IK=1/2.AD và IK //AD
Mà B là t/đ của AD (vì A đx vs D qua B) => AB=BD=1/2.AD=> IK=AB ( =1/2.AD) (2)
Từ (1),(2)=> IK=MN
Ta có: MN// AB(cmt) ; B thuộc AD => MN//AD
Xét tg MNIK có: IK=MN (cmt) và IK//MN (cùng // AD)
=> tg MNIK là hbh (đpcm)
b) Do tg MNIK là hbh ( câu a) mà G là gđ của IM và KN nên G là t/đ của IM là KN
=> IG=MG và KG=NG
Mặt khác: I là t/đ của AG(gt)=> IG=AI=> AI=IG=GM
K là t/đ của DG(gt) => Dk=KG => DK=KG=GN
xét tg ABC có: AM là đg trung tuyến (gt) và AI=IG=GM (cmt) => G là trọng tâm của tg ABC (*)
xét tg DEF có: DN là đg trung tuyến (gt) và DK=KG=GN(cmt) => G là trọng tâm của tg DEF (**)
Từ (*),(**) => G vừa là trọng tam của tg ABC vừa là trọng tâm của tg DEF
=> Tg ABC và tg DEF có cùng trọng tâm là G (đpcm)
G là trọng tâm ΔABC
\(\overrightarrow{\rm GA}+\overrightarrow{\rm GB}+\overrightarrow{\rm GC}=\overrightarrow{\rm 0}\)
G là trọng tâm ΔAEF
\(\overrightarrow{\rm GA}+\overrightarrow{\rm GE}+\overrightarrow{\rm GC}=\overrightarrow{\rm 0}\)
\(\overrightarrow{\rm GA}+\overrightarrow{\rm GE}+\overrightarrow{\rm GC}=\overrightarrow{\rm GA}+\overrightarrow{\rm GE}+\overrightarrow{\rm GF}\)
\(\overrightarrow{\rm GB}+\overrightarrow{\rm GC}=\overrightarrow{\rm GE}+\overrightarrow{\rm GF}\)
\(\overrightarrow{\rm GE}+\overrightarrow{\rm EB}+\overrightarrow{\rm GC}=\overrightarrow{\rm GE}+\overrightarrow{\rm GC}+\overrightarrow{\rm GF}\)
\(\overrightarrow{\rm EB}=\overrightarrow{\rm CF}\)
\(\overrightarrow{\rm EB}=\overrightarrow{\rm FC}\)
Bài 4. (2,5 điểm ) Cho hình chữ nhật $A B C D$ tâm $O$, có $A B=4 ; \, A D=2$. Gọi $M$ là điểm thuộc đoạn $C D$ sao cho $D M=2 M C$.
1) Chứng minh $\overrightarrow{A M}=\dfrac{2}{3} \overrightarrow{A C}+\dfrac{1}{3} \overrightarrow{A D}$.
2) Tính tích vô hướng $\overrightarrow{A C}. \overrightarrow{A D}$.
3) Gọi $P$ là điểm thay đổi sao cho $\dfrac{1}{2 P A^{2}+P B^{2}+2 P C^{2}+P D^{2}}$ đạt giá trị lớn nhất. Xác định vị trí của điểm $P$ khi đó.
1) \(\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DM}\)
\(=\overrightarrow{AD}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{DC}\)
\(=\overrightarrow{AD}+\dfrac{2}{3}\left(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AD}\right)\)
\(=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AD}\) (đpcm)
2) \(AC=BD=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}\)
\(\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AD}=\dfrac{AC^2+AD^2-CD^2}{2}\)
\(=\dfrac{20+4-16}{2}=4\)
3) Gọi O là tâm hình chữ nhật
\(\Rightarrow2\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+2\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{0}\)
Ta có:
\(2PA^2+PB^2+2PC^2+PD^2\)
\(=2\left(\overrightarrow{PO}+\overrightarrow{OA}\right)^2+\left(\overrightarrow{PO}+\overrightarrow{OB}\right)^2+2\left(\overrightarrow{PO}+\overrightarrow{OC}\right)^2+\left(\overrightarrow{PO}+\overrightarrow{OD}\right)^2\)
\(=6PO^2+2OA^2+OB^2+2OC^2+OD^2+2\overrightarrow{PO}\left(2\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+2\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}\right)\)
\(=\)\(6PO^2+2OA^2+OB^2+2OC^2+OD^2\)
\(=6PO^2+6OA^2\left[OB=OD=OA=OC\right]\)
\(=6PO^2+6\left(\sqrt{5}\right)^2\)
\(=6PO^2+30\ge30\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow O\equiv P\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{2PA^2+PB^2+2PC^2+PD^2}\le\dfrac{1}{30}\)
\(Max\dfrac{1}{2PA^2+PB^2+2PC^2+PD^2}=\dfrac{1}{30}\Leftrightarrow P\equiv O\)
Cho hình bình hành $A B C D$. Hai điểm $M$ và $N$ lần lượt là trung điểm của $B C$ và $A D$. Điểm $I$ là giao điểm của $A M$ và $B N, K$ là giao điểm của $D M$ và $C N$. Chứng minh $\overrightarrow{A M}=\overrightarrow{N C}$, $\overrightarrow{D K}=\overrightarrow{N I}$.
Cho tứ giác $A B C D$. Xác định điểm $M, N, P$ sao cho a) $2 \overrightarrow{M A}+\overrightarrow{M B}+\overrightarrow{M C}=\overrightarrow{0}$.
b) $\overrightarrow{N A}+\overrightarrow{N B}+\overrightarrow{N C}+\overrightarrow{N D}=\overrightarrow{0}$.
c) $3 \overrightarrow{P A}+\overrightarrow{P B}+\overrightarrow{P C}+\overrightarrow{P D}=\overrightarrow{0}$.
