a: XétΔAIB vuông tại I và ΔAIC vuông tại I có

AB=AC

AI chung

=>ΔAIB=ΔAIC

b: Xét ΔCIE có

CH vừa là đường cao, vừa là trung tuyến

=>ΔCIE cân tại C

a: Xét ΔAIB và ΔAIC có

AB=AC

\(\widehat{BAI}=\widehat{CAI}\)

AI chung

Do đó: ΔAIB=ΔAIC

b: ΔAIB=ΔAIC

=>IB=IC và \(\widehat{AIB}=\widehat{AIC}\)

mà \(\widehat{AIB}+\widehat{AIC}=180^0\)(hai góc kề bù)

nên \(\widehat{AIB}=\widehat{AIC}=\dfrac{180^0}{2}=90^0\)

=>AI\(\perp\)BC

b: Xét ΔAHI vuông tại H và ΔAKI vuông tại K có

AI chung

\(\widehat{HAI}=\widehat{KAI}\)

Do đó: ΔAHI=ΔAKI

=>IH=IK

c: Xét ΔHIN vuông tại H và ΔKIM vuông tại K có

IH=IK

\(\widehat{HIN}=\widehat{KIM}\)

Do đó: ΔHIN=ΔKIM

=>IN=IM và HN=KM

ΔAHI=ΔAKI

=>AH=AK

AH+HN=AN

AK+KM=AM

mà AH=AK và HN=KM

nên AN=AM

=>A nằm trên đường trung trực của NM(1)

IN=IM(cmt)

nên I nằm trên đường trung trực của MN(2)

PN=PM

=>P nằm trên đường trung trực của MN(3)

Từ (1),(2),(3) suy ra A,I,P thẳng hàng

\(\text{a)}\text{Xét }\Delta ABI\text{ và }\Delta ACI\text{ có:}\)

\(AB=AC\left(gt\right)\)

\(BI=CI\text{(I trung điểm BC)}\)

\(AI\text{ chung}\)

\(\Rightarrow\Delta ABI=\Delta ACI\left(c.c.c\right)\)

\(\text{b)Xét }\Delta AIC\text{ và }\Delta DIB\text{ có:}\)

\(AI=DI\left(gt\right)\)

\(\widehat{AIC}=\widehat{DIB}\text{(đối đỉnh)}\)

\(IC=IB\)

\(\Rightarrow\Delta AIC=\Delta DIB\left(c.g.c\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{DIB}=\widehat{ICA}\text{(2 góc tương ứng)}\)

\(\text{mà chúng so le trong}\)

\(\Rightarrow AC=BD\)

\(\text{c)Xét }\Delta IKB\text{ và }\Delta IHC\text{ có:}\)

\(\widehat{IKB}=\widehat{IHC}=90^0\)

\(IB=IC\)

\(\widehat{KIB}=\widehat{CIH}\text{(đối đỉnh)}\)

\(\Rightarrow\Delta IKB=\Delta IHC\left(ch-gn\right)\)

\(\Rightarrow IK=IH\)

\(\text{Hình có chỗ nào bạn ko thấy rõ thì ib riêng cho mik nghe:3}\)

a) xét tam giác ABI và tam giác HBI có:

      \(\widehat{BAI}\)= \(\widehat{BHI}\)(90 độ)

      \(\widehat{B1}\)= \(\widehat{B2}\)( BI là tia phân giác của \(\widehat{ABC}\))

      BI chung

=> tam giác ABI = tam giác HBI (cạnh huyền góc nhọn)

c) xét tam giác HIC cuông tại I có

      HI là cạnh góc vuông

      IC là cạnh huyền

vì trong tam giác vuông, cạnh huyền là cạnh lớn nhất

=> IC > HI

Mà IA = IH (tam giác BAI = tam giác BHI)

=> AI < IC

C1 :

Hình : tự vẽ 

a )Vì CA=CB ( đề bài cho ) => tam giác ABC cân tại C

                                       mà CI vuông góc vs AB => CI là đường cao của tam giác ABC 

=> CI cũng là đường trung tuyến của tam giác ABC ( t/c tam giác cân )

=> IA=IB (đpcm)

C1 : 

b) Có IA=IB ( cm phần a ) 

mà IA+IB = AB 

      IA + IA = 12 (cm)

=> IA = \(\frac{12}{2}=6\left(cm\right)\)

Xét tam giác vuông CIA có :     CI²  +   IA²  = CA²  ( Đ/l Py-ta -go )

                                                   CI² +  6²     = 10²

                                                          CI²       = 10²  - 6² = 64

=> CI = \(\sqrt{64}=8\left(cm\right)\)

Vậy CI ( hay IC ) = 8cm

a: Xét ΔAHB vuông tại H và ΔAKC vuông tại K có

AB=AC

\(\widehat{BAH}\) chung

Do đó: ΔAHB=ΔAKC

=>AH=AK

b: Ta có: ΔAHB=ΔAKC

=>\(\widehat{ABH}=\widehat{ACK}\)

=>\(\widehat{KBI}=\widehat{HCI}\)

Ta có: AK+KB=AB

AH+HC=AC

mà AK=AH và AB=AC

nên KB=HC

Xét ΔIKB vuông tại K và ΔIHC vuông tại H có

KB=HC

\(\widehat{KBI}=\widehat{HCI}\)

Do đó: ΔIKB=ΔIHC

c: ta có: ΔIKB=ΔIHC

=>IB=IC

Xét ΔABI và ΔACI có

AB=AC

BI=CI

AI chung

Do đó: ΔABI=ΔACI

=>\(\widehat{BAI}=\widehat{CAI}\)

=>AI là phân giác của góc BAC

d: Ta có: AB=AC

=>A nằm trên đường trung trực của BC(1)

ta có: IB=IC

=>I nằm trên đường trung trực của BC(2)

ta có: MB=MC

=>M nằm trên đường trung trực của BC(3)

Từ (1),(2),(3) suy ra A,I,M thẳng hàng

a: Xét ΔAHB vuông tại H và ΔAKC vuông tại K có

AB=AC
góc HAB chung

=>ΔAHB=ΔAKC

=>AH=AK

b:

Xét ΔABC có

BH,CK là đường cao

BH cắt CK tại I

=>I là trực tâm

=>AI vuông góc BC tại M

Xét ΔKBC vuông tạiK và ΔHCB vuông tại H có

BC chung

KC=HB

=>ΔKBC=ΔHCB

=>góc IBC=góc ICB

=>ΔIBC cân tại I

mà IM là đường cao

nên IM là phân giác

c: Xet ΔBAC có AK/AB=AH/AC
nên KH//BC

a: Xét ΔAHB vuông tại H và ΔAKC vuông tại K có

AB=AC
góc HAB chung

=>ΔAHB=ΔAKC

=>AH=AK

b:

Xét ΔABC có

BH,CK là đường cao

BH cắt CK tại I

=>I là trực tâm

=>AI vuông góc BC tại M

Xét ΔKBC vuông tạiK và ΔHCB vuông tại H có

BC chung

KC=HB

=>ΔKBC=ΔHCB

=>góc IBC=góc ICB

=>ΔIBC cân tại I

mà IM là đường cao

nên IM là phân giác

c: Xet ΔBAC có AK/AB=AH/AC
nên KH//BC