Cho 2 số thực dương thỏa mãn x+y+3xy=1
Tìm GTLN của biểu thức A= \(\sqrt{1-x^2}+\sqrt{1-y^2}+\dfrac{3xy}{x+y}\)
Cho x,y là các số dương thỏa mãn x + y \(\le\)3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = \(\dfrac{2}{3xy}+\sqrt[]{\dfrac{3}{y+1}}\)
Cho x, y, z là các số thực dương và thỏa mãn: x+y+z=xyz. Tìm GTLN của biểu thức: \(P=\dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}}+\dfrac{1}{\sqrt{1+y^2}}+\dfrac{1}{\sqrt{1+z^2}}\)
Cho x, y, z là các số thực dương và thỏa mãn: x+y+z=xyz. Tìm GTLN của biểu thức: \(P=\dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}}+\dfrac{1}{\sqrt{1+y^2}}+\dfrac{1}{\sqrt{1+z^2}}\)
Cho x, y, z là các số thực không âm thỏa mãn x+y+z =1
tìm GTLN của biểu thức:
P = \(\sqrt{2x^2+x+1}+\sqrt{2y^2+y+1}+\sqrt{2z^2+z+1}\)
\(\left\{{}\begin{matrix}x;y;z\ge0\\x+y+z=1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow0\le x;y;z\le1\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2\le x\\y^2\le y\\z^2\le z\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x^2+x+1\le x^2+2x+1\\2y^2+y+1\le y^2+2y+1\\2z^2+z+1\le z^2+2z+1\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow P\le\sqrt{\left(x+1\right)^2}+\sqrt{\left(y+1\right)^2}+\sqrt{\left(z+1\right)^2}=x+y+z+3=4\)
\(P_{max}=4\) khi \(\left(x;y;z\right)=\left(0;0;1\right)\) và các hoán vị
Cho x,y là các số thực thỏa mãn: \(\sqrt{x^2+5}-y^3=\sqrt{y^2+5}-x^3\). Tìm GTLN của biểu thức: \(P=x^2-3xy+12y-y^2+2021\)
Cho các số thực x,y thỏa mãn \(\sqrt{x+5}-y^3=\sqrt{y+5}-x^3\)
Tìm GTLN của biểu thức \(P=x^2-3xy+12y-y^2+2018\)
cho hai số thực dương x,y thỏa mãn điều kiện x+y+1=3xy
tìm GTLN của biểu thức P=1/x(y+1) + 1/y(x+1)
\(3xy=x+y+1\ge3\sqrt[3]{xy}\Rightarrow xy\ge1\)
\(4xy=xy+x+y+1=x\left(y+1\right)+\left(y+1\right)=\left(x+1\right)\left(y+1\right)\)
\(P=\frac{1}{x\left(y+1\right)}+\frac{1}{y\left(x+1\right)}=\frac{2xy+x+y}{4\left(xy\right)^2}=\frac{5xy-1}{4\left(xy\right)^2}\)
Xét hiệu: \(P-1=\frac{5xy-1}{4x^2y^2}-1=\frac{\left(4xy-1\right)\left(1-xy\right)}{4x^2y^2}\le0\) với mọi \(xy\ge1\)
Vậy \(P\le1\)hay max P = 1.
Dẫu "=" xảy ra <=> x = y = 1.
Áp dụng BĐT Cauchy ta có: \(3xy\ge2\sqrt{xy}+1\Leftrightarrow xy\ge1\)
Áp dụng BĐT Cauchy ta có:
\(P=\frac{1}{x\left(y+1\right)}+\frac{1}{y\left(x+1\right)}=\frac{5xy-1}{xy\left(x+1\right)\left(y+1\right)}=\frac{5xy-1}{4\left(xy\right)^2}\), đặt t=\(\frac{1}{xy}\)
\(f\left(t\right)=\frac{5}{4}t-\frac{1}{4}t^2\)đồng biến trên (0;1] nên f(t) đạt GTLN tại t=1
Vậy GTKN của P=1 đạt được khi x=y=1
Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn: x+y+z=1. Tìm GTLN của biểu thức: \(B=\sqrt{x^2+xyz}+\sqrt{y^2+xyz}+\sqrt{z^2+xyz}+9\sqrt{xyz}\)
Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn: x+y+z=1. Tìm GTLN của biểu thức: \(B=\sqrt{x^2+xyz}+\sqrt{y^2+xyz}+\sqrt{z^2+xyz}+9\sqrt{xyz}\)