x+y=2 
<=> x=2-y(1) 
giả sử x*y≤1 
<=>(2-y)y≤1 
<=>y^2 - 2y +1≥0 
<=> (y-1)^2≥0 
<=>y≥1(2) 
từ (1),(2)=> x*y≤1 
 

xy = 1 vì :

1 + 1 = 2

vậy xy là 1 nha      

ta có Áp dụng bđt cô si ta có 

\(x^2+y^2\ge2xy\Rightarrow\left(x+y\right)^2\ge4xy\Rightarrow4\ge4xy\Rightarrow1\ge xy\) (ĐPCM)

dấu = xảy ra <=> x=y=1

Giả thiết đề bài phải cho \(x^2+y^2+z^2\le3\) mới đúng.

Đặt \(m=x+y+z\)  thì \(m^2=\left(x^2+y^2+z^2\right)+2\left(xy+yz+zx\right)\le3+2\left(xy+yz+zx\right)\)

                                            \(\le3+2\left(x^2+y^2+z^2\right)\le3+3.2=9\)

\(\Rightarrow m^2\le9\Rightarrow-3\le m\le3\) (1) 

Lại có ; \(\left(x+y+z\right)^2\ge3\left(xy+yz+zx\right)\)

\(\Rightarrow xy+yz+zx\le\frac{m^2}{3}\le\frac{9}{3}=3\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(x+y+z+xy+yz+zx\le6\) (đpcm)

\(x+y=2\)

\(\Leftrightarrow x=2-y\left(1\right)\)

Giả sử: \(x.y\le1\)

\(\Leftrightarrow\left(2-y\right).y\le1\)

\(\Leftrightarrow y^2-2.y+1\ge0\),

\(\Leftrightarrow\left(y-1\right)^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow y\ge1\)

Từ (1) và (2) suy ra:\(x.y\le1\)

Vì x+y=2 -> x=2-y 
ta có: xy=(2-y)y 
=2y-y^2 
=-y^2+2y-1+1 
=-(y-1)^2+1 
Vì (y-1)^2>=0 -> -(y-1)^2<=0(với mọi y) 
-> -(y-1)^2+1 <=1(với mọi y) 
Vậy xy<=1

ta có xy<=(x+y)^2/4 
cm 
<=> 4xy<=x^2+y^2+2xy 
<=> (x^2+y^2-2xy)>=0 
<=>(x-y)^2>=0 (dúng0) 
áp dụng xy<=(x+y)^2/4=2^2/4=1 
daứ = xảy ra là x=y=1 

bang bang de

\(\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2}\ge\frac{2}{1+xy}\)  ( 1 )

\(\Leftrightarrow\left(\frac{1}{1+x^2}-\frac{1}{1+xy}\right)+\left(\frac{1}{1+y^2}-\frac{1}{1+xy}\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{x\left(y-x\right)}{\left(1+x^2\right)\left(1+xy\right)}+\frac{y\left(x-y\right)}{\left(1+xy^2\right)\left(1+xy\right)}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(y-x\right)^2\left(xy-1\right)}{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)\left(1+xy\right)}\ge0\)     ( 2 )

\(\Rightarrow\)Bất đẳng thức ( 2 ) \(\Rightarrow\) Bất đẳng thức ( 1 ) 

( Dấu " = " xảy ra khi x = y ) 

Chúc bạn học tốt !!!