\(x^3+y^3=2xy\)

Bình phương 2 vế ta được:

  \(\left(x^3+y^3\right)^2=4x^2y^2\)

<=>  \(x^6+y^6+2x^3y^3=4x^2y^2\)

<=>  \(x^6+y^6-2x^3y^3=4x^2y^2-4x^3y^3\)

<=>  \(\left(x^3-y^3\right)^2=4x^2y^2\left(1-xy\right)\)

<=>  \(1-xy=\frac{\left(x^3-y^3\right)^2}{4x^2y^2}=\left(\frac{x^3-y^3}{2xy}\right)^2\)

=>  \(\sqrt{1-xy}=\left|\frac{x^3-y^3}{2xy}\right|\) là 1 số hữu tỉ

=>  đpcm

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2-2\left(ab+1\right)+\left(\frac{ab+1}{a+b}\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b-\frac{ab+1}{a+b}\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow ab+1=\left(a+b\right)^2\Rightarrow\sqrt{ab+1}=a+b\in Q\left(Q.E.D\right)\)

Đẳng thức đã cho tương đương với 

\(x^2+2xy+y^2+\left(\frac{xy+1}{x+y}\right)^2=2+2xy.\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2+\left(\frac{xy+1}{x+y}\right)^2-2\left(xy+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2-2\left(x+y\right).\frac{xy+1}{x+y}+\left(\frac{xy+1}{x+y}\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y-\frac{xy+1}{x+y}\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow x+y-\frac{xy+1}{x+y}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2=xy+1\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{1+xy}=|x+y|\)

Vì x,y là số hữu tỉ nên Vế phải của đẳng thức là số hữu tỉ => Điều phải chứng minh

\(x^3-y^3=2xy\)

\(\Leftrightarrow x^4-xy^3-2x^2y=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-y\right)^2-y^2-xy^3=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-y\right)^2=y^2\left(1+xy\right)\)

\(\Leftrightarrow1+xy=\left(\frac{x^2-y}{y}\right)^2\)

Ta có đpcm. 

\(a^3+b^3=4ab\)

\(\Rightarrow a^3=4ab-b^3\)

\(\Rightarrow a=\dfrac{4ab-b^3}{a^2}\)

\(4-ab=4-\dfrac{4ab-b^3}{a^2}.b=4-\dfrac{4ab^2-b^4}{a^2}=\dfrac{4a^2-4ab^2+b^4}{a^2}=\dfrac{\left(2a-b^2\right)^2}{a^2}=\left(\dfrac{2a-b^2}{a}\right)^2\)