\(\sqrt{1-xy}=\frac{\sqrt{1-xy}.x^2y^2}{x^2y^2}\)\(=\frac{\sqrt{x^4y^4-x^5y^5}}{x^2y^2}\)
có: \(x^5+y^5=2x^2y^2\Rightarrow x^2y^2=\frac{x^5+y^5}{2}\)
\(\frac{\sqrt{x^4y^4-x^5y^5}}{x^2y^2}=\frac{\sqrt{\left(\frac{x^5+y^5}{2}\right)^2-x^5y^5}}{x^2y^2}=\frac{\sqrt{\left(x^5-y^5\right)^2}}{2x^2y^2}=\frac{\left|x^5-y^5\right|}{2x^2y^2}\)
Do x, y hữu tỉ nên \(\frac{\left|x^5-y^5\right|}{2x^2y^2}\)hữu tỉ (đpcm)
xy=0 tm
xy khác 0
\(\frac{x^5+y^5}{2x^2y^2}=1\Leftrightarrow\frac{x^3}{2y^2}+\frac{y^3}{2x^2}=1\Leftrightarrow\frac{x^6}{4y^4}+\frac{xy}{2}+\frac{x^6}{4x^4}=1\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{x^3}{2y^2}-\frac{y^3}{2x^2}\right)=1-xy\)=>dpcm
em có cách khác:(ad Bùi Thị Vân thiếu ĐK xy khác 0 nhé)
TH1: xy=0 => \(\sqrt{1-xy}\)=1 là số hữu tỉ.
TH2:xy khác 0
bình phương 2 vế giả thiết dc:
\(\left(x^5+y^5\right)^2=4x^4y^4\)
\(x^{10}+y^{10}-2x^5y^5=4x^4y^4-4x^5y^5\)
\(\left(x^5-y^5\right)^2=4x^2y^2\left(1-xy\right)\)
\(\sqrt{1-xy}=\sqrt{\frac{\left(x^5-y^5\right)^2}{4x^4y^4}}=\left|\frac{x^5-y^5}{2x^2y^2}\right|\)là số hữu tỉ
