\(a^2b^2\left(a-b\right)+b^2c^2\left(b-c\right)+c^2a^2\left(c-a\right)\)

\(=a^2b^2\left(a-b\right)-b^2c^2\left[\left(a-b\right)+\left(c-a\right)\right]+c^2a^2\left(c-a\right)\)

\(=a^2b^2\left(a-b\right)-b^2c^2\left(a-b\right)+c^2a^2\left(c-a\right)-b^2c^2\left(c-a\right)\)

\(=\left(a-b\right)b^2\left(a-c\right)\left(a+c\right)+\left(c-a\right)c^2\left(a-b\right)\left(a+b\right)\)

\(=\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(ab^2+cb^2-c^2a-c^2b\right)\)

\(=\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(b-c\right)\left(ab+ac+bc\right)\)

t làm bên h rồi mà? Làm quá lâu rồi luôn ấy! Đáp án y chang bạn Kid:v

Câu hỏi của Trần Minh Hiển - Toán lớp 9 (không biết AD đã fix lỗi ko dán link h vào olm chưa, nếu chưa ib t gửi full link, nhớ kèm theo link câu hỏi này là ok.)

\(a,\) Đặt \(A=\left(a+b+c\right)^3-a^3-b^3-c^3\)

Với \(a=-b\) ta được \(A=0\)

Do vai trò bình đẳng của a,b,c và A bậc 3 nên nhân tử còn lại là hằng số k

Do đó \(A=k\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\)

Cho \(a=b=c=1\Leftrightarrow3^3-1-1-1=8k\Leftrightarrow k=3\)

Do đó \(A=3\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\)

\(b,\) Đặt \(B=a^3\left(b-c\right)+b^3\left(c-a\right)+c^3\left(a-b\right)\)

Với \(a=b\Leftrightarrow B=0\)

Do vai trò bình đẳng của a,b,c và B bậc 4 nên \(B=\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)Q\) trong đó Q bậc nhất

Do đó \(Q=\left(a+b+c\right)R\) với R là hằng số

\(\Leftrightarrow B=\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)\left(a+b+c\right)R\)

Cho \(a=1;b=2;c=3\Leftrightarrow-12=12R\Leftrightarrow R=-1\)

Do đó \(B=-\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)\left(a+b+c\right)\)

\(c,\) Đặt \(C=\left(a+b+c\right)^5-a^5-b^5-c^5\)

Cho \(a=-b\Leftrightarrow C=0\)

Do vai trò bình đẳng của a,b,c và C bậc 5 nên \(C=\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)P\) trong đó P bậc 2

Do đó \(P=\left(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca\right)R\) với R là hằng số

\(\Leftrightarrow C=\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\left(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca\right)R\)

Cho \(a=1;b=2;c=3\Leftrightarrow7500=1500R\Leftrightarrow R=5\)

Do đó \(C=5\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\left(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca\right)\)

\(d,\) Đặt \(D=2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2-a^4-b^4-c^4\)

Với \(a=b+c\Leftrightarrow D=0\)

Do vai trò bình đẳng của a,b,c và D bậc 4 nên \(D=\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)\left(a+b-c\right)R\) với R bậc nhất

Do đó \(R=\left(a+b+c\right)Q\) với Q là hằng số

\(\Leftrightarrow D=\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)\left(a+b-c\right)\left(a+b+c\right)Q\)

Cho \(a=b=c=1\Leftrightarrow Q=1\)

Do đó \(D=\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)\left(a+b-c\right)\left(a+b+c\right)\)

1.

\(2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2-a^4-b^4-c^4>0\\ \Leftrightarrow a^4+b^4+c^4-2a^2b^2-2b^2c^2-2c^2a^2< 0\\ \Leftrightarrow\left(a^4+b^4+c^4+2a^2b^2-2b^2c^2-2c^2a^2\right)-4a^2b^2< 0\\ \Leftrightarrow\left(a^2+b^2-c^2\right)^2-4a^2b^2< 0\\ \Leftrightarrow\left(a^2+b^2-c^2-2ab\right)\left(a^2+b^2-c^2+2ab\right)< 0\\ \Leftrightarrow\left[\left(a-b\right)^2-c^2\right]\left[\left(a+b\right)^2-c^2\right]< 0\\ \Leftrightarrow\left(a-b+c\right)\left(a-b-c\right)\left(a+b-c\right)\left(a+b+c\right)< 0\left(1\right)\)

Vì a,b,c là độ dài 3 cạnh của 1 tg nên \(\left\{{}\begin{matrix}a+c>b\\a-b< c\\a+b>c\\a+b+c>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a-b+c>0\\a-b-c< 0\\a+b-c>0\\a+b+c>0\end{matrix}\right.\)

Do đó \(\left(1\right)\) luôn đúng (do 3 dương nhân 1 âm ra âm)

Từ đó ta được đpcm

2.

\(a,Sửa:a^6+a^4+a^2b^2+b^4-b^6\\ =\left(a^6-b^6\right)+\left(a^4+b^4+a^2b^2\right)\\ =\left(a^2-b^2\right)\left(a^4+a^2b^2+b^4\right)+\left(a^4+b^4+a^2b^2\right)\\ =\left(a^2-b^2+1\right)\left(a^4+a^2b^2+b^4\right)\\ =\left[\left(a^2+b^2\right)^2-a^2b^2\right]\left(a^2-b^2+1\right)\\ =\left(a^2-ab+b^2\right)\left(a^2+ab+b^2\right)\left(a^2-b^2+1\right)\\ b,=\left(a^3+b^3\right)-1+3ab\\ =\left(a+b\right)^3-3ab\left(a+b\right)-1+3ab\\ =\left(a+b-1\right)\left(a^2+2ab+b^2+a+b+1\right)-3ab\left(a+b-1\right)\\ =\left(a+b-1\right)\left(a^2+b^2+1+a+b-ab\right)\)

\(c,=a^2b^2\left(b-a\right)+b^2c^2\left(c-a+a-b\right)-c^2a^2\left(c-a\right)\\ =-a^2b^2\left(a-b\right)+b^2c^2\left(a-b\right)+b^2c^2\left(c-a\right)-c^2a^2\left(c-a\right)\\ =\left(a-b\right)\left(b^2c^2-a^2b^2\right)+\left(c-a\right)\left(b^2c^2-c^2a^2\right)\\ =b^2\left(a-b\right)\left(c-a\right)\left(c+a\right)+c^2\left(c-a\right)\left(b-a\right)\left(b+a\right)\\ =\left(a-b\right)\left(c-a\right)\left[b^2\left(c+a\right)-c^2\left(b+a\right)\right]\\ =\left(a-b\right)\left(c-a\right)\left(b^2c+ab^2-bc^2-ac^2\right)\\ =\left(a-b\right)\left(c-a\right)\left[bc\left(b-c\right)+a\left(b-c\right)\left(b+c\right)\right]\\ =\left(a-b\right)\left(c-a\right)\left(b-c\right)\left(bc+ab+ac\right)\)

\(3\left(a+3b\right)\left(b+3c\right)\left(c+3a\right)\)