a) Gọi ƯCLN(4n+1;6n+1) = d

=>\(\hept{\begin{cases}4n+1⋮d\\6n+1⋮d\end{cases}}\)=>\(\hept{\begin{cases}3\left(4n+1\right)⋮d\\2\left(6n+1\right)⋮d\end{cases}}\)=>\(\hept{\begin{cases}12n+3⋮d\\12n+2⋮d\end{cases}}\)

<=> 12n + 3 - 12n -2 \(⋮\)d

<=> 3 - 2  \(⋮\)d  _{(trừ 12n)}

<=> d = 1

Vậy ƯCLN(4n+1;6n+1) = 1 hay với mọi số tự nhiên n thì 4n+1 và 6n+1 là hai số nguyên tố cùng nhau

b) Gọi ƯCLN(5n+4;6n+5) = d

=>\(\hept{\begin{cases}5n+4⋮d\\6n+5⋮d\end{cases}}\)=>\(\hept{\begin{cases}6\left(5n+4\right)⋮d\\5\left(6n+5\right)⋮d\end{cases}}\)=>\(\hept{\begin{cases}30n+24⋮d\\30n+25⋮d\end{cases}}\)

<=>30n + 25 - 30n + 24 \(⋮\)d

<=>25 - 24 \(⋮\)d _{(bỏ đi 30n)}

<=> d = 1

Vậy ƯCLN(5n+4;6n+5) = 1 hay 5n + 4 và 6n + 5 là 2 số nguyên tố cùng nhau

Gọi \(d=ƯCLN\left(6n+5;4n+3\right)\left(d\in N\right)\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}6n+5⋮d\\4n+3⋮d\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}12n+10⋮d\\12n+9⋮d\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow1⋮d\)

Vì \(d\in N;1⋮d\Leftrightarrow d=1\)

\(\LeftrightarrowƯCLN\left(6n+5;4n+3\right)=1\)

\(\Leftrightarrowđpcm\)

Gọi \(ƯCLN\left(6n+5,4n+3\right)=d\left(d\in N\right)\)

Do đó:\(\left\{{}\begin{matrix}6n+5⋮d\\4n+3⋮d\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}12n+10⋮d\\12n+9⋮d\end{matrix}\right.\)

Vì 9;10 là 2 số nguyên tố cùng nhau nên \(1⋮d\)

=>d=1

=>6n+5 và 4n+3 là 2 số nguyên tố cùng nhau(đpcm)

Gọi \(d=ƯCLN\left(6n+5;4n+3\right)\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}6n+5⋮d\\4n+3⋮d\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}12n+10⋮d\\12n+9⋮d\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow1⋮d\)

\(\LeftrightarrowƯCLN\left(6n+5;4n+3\right)=1\)

\(\Leftrightarrowđpcm\)

Gọi d=UCLN (6n+5,4n+3)

Ta có 6n+5.2=12n+10

4n+3.3=12n+9

\(\Rightarrow\)12n+10-12n+9=1

Nên 1\(⋮\)d

Nêu UCLN(6n+5,4n+3)=1

\(\Rightarrow\)dpcm

mk ko bit

???

tk nha good luck

Gọi \(d=ƯCLN\left(6n+5,4n+3\right)\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}6n+5⋮d\\4n+3⋮d\end{matrix}\right.\\ 6n+5⋮d\Rightarrow2\left(6n+5\right)=12n+10⋮d\left(1\right)\\ 4n+3⋮d\Rightarrow3\left(4n+3\right)=12n+9⋮d\left(2\right)\\ \text{Từ }\left(1\right),\left(2\right)\Rightarrow\left(12n+10\right)-\left(12n+9\right)⋮d\Rightarrow1⋮d\Rightarrow d=1\)

Do \(ƯCLN\:\left(6n+5,4n+3\right)=1\) nên 2 số đó là số nguyên tố cùng nhau

Ta có : k là ƯCLN của 7n + 10 và 5n + 7 
Vậy : 7n + 10 chia hết cho k ; 5n + 7 chia hết cho k 
Hay 5(7n + 10 ) và 7(5n + 7 ) 
      35n + 50 và 35n + 49 chia hết cho k 
=> ĐPCM 
Hai bài kia bạn làm tương tư nhé , chúc may mắn