Vì a+b+c=0 nên

\(a^5+b^5+c^5=a^5+b^5+c^5-a-b-c\)

= \(a\left(a^4-1\right)+b\left(b^4-1\right)+c\left(c^4-1\right)\)

Lại có :

\(a\left(a^4-1\right)=a\left(a^2-1\right)\left(a^2+1\right)\)= \(a\left(a+1\right)\left(a-1\right)\left(a^2-4+5\right)\)

= \(a\left(a+1\right)\left(a-1\right)\left(a^2-4\right)+5a\left(a+1\right)\left(a-1\right)\)

= \(a\left(a+1\right)\left(a-1\right)\left(a+2\right)\left(a-2\right)+5a\left(a+1\right)\left(a-1\right)\)

Vì : \(a\left(a+1\right)\) là tích của 2 số thực liên tiếp nên chia hết cho 3

\(a\left(a+1\right)\left(a-1\right)\)là tích của 3 số thực liên tiếp nên chia hết cho 3

\(a\left(a+1\right)\left(a-1\right)\left(a+2\right)\left(a-2\right)\)là tích của 5 số thực liên tiếp nên chia hết cho 5

Mà (2,3,5) = 1 nên \(a\left(a+1\right)\left(a-1\right)\left(a+2\right)\left(a-2\right)\)chia hết cho 2.3.5=30

Suy ra \(a^5-a\) chia hết cho 30

Cmtt ta được \(b^5-b\) và \(c^5-c\) chia hết cho 30

Suy ra \(a^5+b^5+c^5-a-b-c\) chia hết cho 30 hay

\(a^5+b^5+c^5\) chia hết cho 30 khi a+b+c = 0

bài này ở đâu vậy bạn

Ta có:P=(a+b)(a+c)(b+c)-abc=(a²b+ab²+b²c+bc²⁺a²c+ac²+abc+abc)-abc

                                          =(a²b+ab²+abc)+(a²c+ac²+abc)+(b²c+bc²+abc)-2abc

                                          =ab(a+b+c)+ac(a+b+c)+bc(a+b+c)-2abc

                                          =(a+b+c)(ab+ac+bc)-2abc

 thấy a+b+c chia hết cho 4 => (a+b+c)(ab+bc+ac) chia hết cho 4   (1)

Do a+b+c chia hết cho 4 => tồn tại ít nhất trong 3 số a,b,c một số chia hết cho 2=>2abc chia hết cho 4   (2)

Tù (1) và (2)=>P chia hết cho 4