Lời giải:

$n^4+3n^3+4n^2+3n+1=(n+1)^2(n^2+n+1)$

Nếu đây là scp thì $n^2+n+1$ cũng phải là scp

Đặt $n^2+n+1=t^2$ với $t$ tự nhiên 

$\Leftrightarrow 4n^2+4n+4=(2t)^2$

$\Leftrightarrow (2n+1)^2+3=(2t)^2$

$\Leftrightarrow 3=(2t-2n-1)(2t+2n+1)$

$\Rightarrow 2t+2n+1=3; 2t-2n-1=1$

$\Rightarrow n=0$ (trái giả thiết)

Vậy có nghĩa là $n^2+n+1$ không là scp với mọi $n\in\mathbb{N}^*$

$\Rightarrow n^4+3n^3+4n^2+3n+1$ không là scp với mọi $n\in\mathbb{N}^*$

Ta có đpcm.

phản chứng : tìm n để cái trên là số c/p => ..

x co tan cung =7 =hoac 2 => ko la dau chinh phuong

SCP tan cung (0,1,4,5,6,9)

-Ta c/m: Với mọi số tự nhiên n thì \(\left(n+2021\right)^2+2022< \left(n+2022\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\left(n+2021\right)^2+2022-\left(n+2022\right)^2< 0\)

\(\Leftrightarrow\left(n+2021-n-2022\right)\left(n+2021+n+2022\right)+2022< 0\)

\(\Leftrightarrow-\left(2n+4043\right)+2022< 0\)

\(\Leftrightarrow-2n-4043+2022< 0\)

\(\Leftrightarrow-2n-2021< 0\) (đúng do n là số tự nhiên)

-Từ điều trên ta suy ra:

\(\left(n+2021\right)^2< \left(n+2021\right)^2+2022< \left(n+2022\right)^2\)

-Vậy với mọi số tự nhiên n thì \(\left(n+2021\right)^2+2022\) không là số chính phương.

xét x<4 và x>3

nếu x<4 thì: +Với x=1 thì x!+2003=2004 (loại vì ko là scp)

                 +Với x=2 thì x!+2003=2005 (loại vì ko là scp)

                 +Với x=3 thì x!+2003=2009 (loại vì ko là scp)

nếu x>3 thì x! sẽ chia hết cho 3                ₍₁₎

Mặt khác 2003 chia 3 dư 2             ₍₂₎

Từ (1) và (2) suy ra: x!+2003 chia 3 dư 2 

Mà scp khi chia cho 3 ko có số dư là 2

=> x!+2003 ko là scp

Vậy ......................

Để chứng minh n²+n+1 không thể là số chính phương ta sẽ chứng minh n²+n+1 không chia hết cho 9

Giả sử n²+n+1 chia hết cho 9

<=> n²+n+1=9k (k thuộc N)

<=> n²+n+1-9k=0 (1)

\(\Delta=1^2-4\left(1-9k\right)=36k-3=3\left(12k-1\right)\)

Ta thấy \(\Delta⋮3\)và không chia hế cho hết cho 9 nên không là số chính phương => pt (1) trên không thể nghiệm nguyên

Vậy n²+n+1 không chia hết cho 9 hay n²+n+1 không là số chính phương

+) Nếu n chẵn => n = 2k (k \(\in\) N) => 2ⁿ = 2^2k = 4^k 

=> 2ⁿ + 3 = 4^k + 3 , chia cho 4 dư 3 => 2ⁿ + 3 không là số chính phương (Số chính phương chia cho 4 chỉ dư 0 hoặc 1)

+) Nếu n lẻ => n = 2k + 1 (k \(\in\) N* vì n > 1) => 2ⁿ + 3 = 2^2k+1 + 3 = 2.4^k + 3 , chia cho 4 dư 3 => 2ⁿ + 3 không là số chính phương

Vậy Với mọi n > 1 thì 2ⁿ + 3 không là số chính phương

Ngọc Vĩ= sư tử xổng chuồng

=> 2ⁿ + 3 = 4^k + 3 ,

chia cho 4 dư 3 => 2ⁿ + 3 không là số chính phương 

chia cho 4 dư 3 => 2ⁿ + 3 không là số chính phương

Vậy..................