\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0\Leftrightarrow xy+yz+zx=0\)

\(A=\frac{yz}{x^2}+\frac{xz}{y^2}+\frac{xy}{z^2}=\frac{y^3z^3+x^3z^3+x^3y^3}{x^2y^2z^2}=\frac{\left(xy+yz+xz\right)\left(...\right)}{x^2y^2z^2}=0\)

Câu hỏi của Vũ Thảo Vy - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath tham khảo

Đặt bài toán phụ : Chứng minh nếu \(a+b+c=0\Rightarrow a^3+b^3+c^3=3abc\)

Thật vậy :

 \(a^3+b^3+c^3=\left(a+b+c\right)^3-3\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\)

\(a+b+c=0\Rightarrow\left(a+b+c\right)^3=0\)

\(a+b=-c\)

\(b+c=-a\)

\(c+a=-b\)

\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)^3-3\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\)

\(=-3\left(-c\right)\left(-b\right)\left(-a\right)\)

\(=3abc\)

Trở lại bài toán chính :

Ta có:

\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0\)

\(\Rightarrow\frac{yz}{xyz}+\frac{xz}{xyz}+\frac{xy}{xyz}=0\)

\(\Rightarrow\frac{yz+xz+xy}{xyz}=0\)

\(\Rightarrow xy+xz+yz=0\)

\(\Rightarrow\left(xy\right)^3+\left(xz\right)^3+\left(yz^3\right)=3\left(xy\right)\left(xz\right)\left(yz\right)=3x^2y^2z^2\)

Lại có:

\(P=\frac{xy.y^2x^2}{x^2y^2z^2}+\frac{xz.z^2.x^2}{x^2y^2z^2}+\frac{z^2.y^2.yz}{x^2y^2z^2}\)

\(=\frac{\left(xy\right)^3}{x^2y^2z^2}+\frac{\left(xz\right)^3}{x^2y^2z^2}+\frac{\left(yz\right)^3}{x^2y^2z^2}\)

\(=\frac{\left(xy\right)^3+\left(xz\right)^3+\left(yz^3\right)}{x^2y^2z^2}\)

Thay \(\left(xy\right)^3+\left(xz\right)^3+\left(yz^3\right)=3x^2y^2z^2;\)ta có:

\(P=\frac{3x^2y^2z^2}{x^2y^2z^2}\)

\(=3\)

Vậy \(P=3.\)

Dễ dàng chứng minh được : nếu \(a+b+c=0\) thì \(a^3+b^3+c^3=3abc\)

Ta có \(\frac{xy}{z^2}+\frac{yz}{x^2}+\frac{zx}{y^2}=xyz\left(\frac{1}{x^3}+\frac{1}{y^3}+\frac{1}{z^3}\right)=xyz.\frac{3}{xyz}=3\)( Vì \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0\))

bn chứng minh dj

\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=-\frac{1}{z}\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)^3=\frac{-1}{z^3}\)

\(\frac{1}{x^3}+\frac{3}{x^2y}+\frac{3}{xy^2}+\frac{1}{y^3}=-\frac{1}{z^3}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{x^3}+\frac{1}{y^3}+\frac{1}{z^3}=\frac{-3}{x^2y}-\frac{3}{xy^2}=\frac{-3}{xy}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)=\frac{3}{xyz}\)

\(\Rightarrow xyz\left(\frac{1}{x^3}+\frac{1}{y^3}+\frac{1}{z^3}\right)=\frac{3}{xyz}.xyz\)

\(\Rightarrow\frac{yz}{x^2}+\frac{xy}{z^2}+\frac{xz}{y^2}=3\)

khi gấp lên mấy lần thì nó vẫn bằng 0 nên biểu thức đó bằng 0

trả lời thì ghi hẳn lời giải ra =)))