Xét \(\Delta\)ABC có: E, I là trung điểm AB, BC

\(\Rightarrow\) EI là đường trung bình tam giác ABC

\(\Rightarrow\) EI//AC, EI=1/2AC

Chứng minh tương tự: MK//AC, MK=1/2AC

\(\Rightarrow\) EI//MK, EI=MK

\(\Rightarrow\) tứ giác EIKM là hình bình hành (1)

ta có: EA=EB, \(\widehat{A}\)=\(\widehat{B}\), BI=MA(do AD=BC)

\(\Rightarrow\) \(\Delta\)AEM=\(\Delta\)BEI

\(\Rightarrow\) EM=EI(2)

Từ (1), (2)

\(\Rightarrow\) tứ giác EIKM là hình thoi

Để hình thoi EIKM là hình vuông thì EM\(\perp\)EI
\(\Rightarrow\) AC⊥BD
\(\Rightarrow\) hình thang ABCD có 2 đường chéo vuông góc với nhau
Vậy hình thang ABCD có đường chéo vuông góc với nhau thì EIKM là hình vuông.

#Shinobu Cừu

Đề hình như sai bạn ơi, E là TĐ của ED là sao???

a, Xét t/giác AED và t/giác BEC
có góc A = góc B ( do ABCD là hình thang cân)
AD=BC (t/c)
AE = BE ( do E là trung điểm)
\Rightarrow t/giác AED = t/giác BEC ( c-g-c)
\Rightarrow ED=EC 
\RightarrowT/giác EDC cân
b, Tứ giác EMIK là hình bình hành ( chừng minh tương tự câu a bài 3) (**)
Chứng minh MK là đường trung bình của tam giác DAC
\Rightarrow MK = 1/2 AC
có ME = 1/2 BD (cmt) mà AC = BD \RightarrowMK = ME (*)
Từ (*) và (**) \Rightarrow EMKI là hình thoi 
c, Diện k hình thoi EMKI = (4.6) : 2 = 12
Diên k ABCD= 6 .4 = 24 (mình hok chắc lắm)

Xét ΔBAC có BE/BA=BI/BC

nên EI//AC và EI=AC/2

Xét ΔDAC có DK/DC=DM/DA

nên KM//AC và KM=AC/2

=>EI//KM và EI=KM

Xét ΔABD có AE/AB=AM/AD

nên EM//BD và EM=BD/2=AC/2=EI

Xét tứ giác EIKM có

EI//KM

EI=KM

EM=EI

Do đó: EIKM là hình thoi

Sửa đề: M,N,P,Q lần lượt là trung điểm của AB,BC,CD,DA

a: AB//DC

\(P\in DC\)

Do đó: AB//DP

AB=DC/2

DP=DC/2=PC

Do đó: AB=DP=CP

Xét tứ giác ABPD có

AB//PD

AB=PD

Do đó: ABPD là hình bình hành

b: Xét ΔABC có

M,N lần lượt là trung điểm của BA,BC

=>MN là đường trung bình của ΔBAC

=>MN//AC và MN=AC/2(1)

Xét ΔADC có

Q,P lần lượt là trung điểm của DA,DC

=>QP là đường trung bình

=>QP//AC và QP=AC/2(2)

Từ (1) và (2) suy ra MN//PQ và MN=PQ

Xét tứ giác MNPQ có

MN//PQ

MN=PQ

Do đó: MNPQ là hình bình hành

c: ABPD là hình bình hành

=>AP cắt BD tại trung điểm của mỗi đường

=>E là trung điểm của AP và BD

Xét ΔADP có

Q,E lần lượt là trung điểm của AD,AP

=>QE là đường trung bình

=>QE//DP

=>QE//DC

Xét ΔBDC có

E,N lần lượt là trung điểm của BD,BC

=>EN là đường trung bình

=>EN//DC

EN//DC

QE//DC

mà QE và EN có điểm chung là E

nên Q,E,N thẳng hàng