Gọi O là giao điểm của AC và BD

ABCD là hình vuông

=>AC vuông góc với BD tại trung điểm của mỗi đường và AC=BD

=>AC vuông góc BD tại O, O là trung điểm chung của AC và BD; AC=BD

O là trung điểm chung của AC và BD

=>OA=OC=AC/2 và OB=OD=BD/2

mà AC=BD

nên OA=OC=OB=OD

\(NA=3NC\)

NA+NC=AC

=>3NC+NC=AC

=>4NC=AC

=>\(AC=4NC\)

mà AC=2OC

nên \(2OC=4NC\)

=>OC=2NC

=>N là trung điểm của OC

Gọi K là trung điểm của OD

Xét ΔODC có

N,K lần lượt là trung điểm của OC,OD

=>NK là đường trung bình của ΔODC

=>NK//DC và NK=DC/2

NK//DC

AB//DC

Do đó: NK//AB

\(NK=\dfrac{DC}{2}\)

\(AB=DC\)

\(AM=\dfrac{AB}{2}\)

Do đó: NK=AM

Xét tứ giác AMNK có

AM//NK

AM=NK

Do đó: AMNK là hình bình hành

=>AK//MN

KN//DC

DC\(\perp\)AD

Do đó: NK\(\perp\)AD

Xét ΔADN có

NK,DO là đường cao

NK cắt DO tại K

Do đó: K là trực tâm của ΔADN

=>AK\(\perp\)DN

mà AK//MN

nên DN\(\perp\)MN

=>\(\widehat{DNM}=90^0\)

.

Giải 

Ta có :

\(\frac{S_{MDA}}{S_{MAB}}=\frac{DQ}{BP}\)( hai tam giác có chung đáy AM )

\(\frac{DQ}{BP}=\frac{S_{ACD}}{S_{ABC}}\)( hai tam giác có chung đáy AM )

\(\frac{S_{ACD}}{S_{ABC}}=\frac{AD}{BC}\)(hai tam giác có đường cao hạ từ A và C bằng nhau)

Ta lại có : Tỉ số \(\frac{S_{MDA}}{S_{MAB}}=\frac{AD}{BC}=\frac{20}{10}=2\)

Mặt khác :Tổng của \(S_{MDA}+S_{MAB}=S_{ABD}=\frac{20\times12}{2}=120\)( cm ² )

\(S_{MAB}=\frac{120}{2+1}=40\)( cm ² ) (1)

\(S_{MAD}=40\times2=80\)( cm ² ) (2)

Ta có :

\(S_{ABC}=\frac{10\times12}{2}=60\)( cm ² ) (3)

\(S_{ACD}=\frac{20\times12}{2}=120\)( cm ² ) (4)

Từ (1)(2)(3)(4) => \(S_{MCD}=S_{ACD}-S_{MAD}=120-80=40\)( cm ² )

\(S_{MBC}=S_{ABC}-S_{MAB}=60-40=20\)( cm ² )

P/s tham khảo nha

Bạn Đường Quỳng Giang hướng dẫn làm bài này rồi mà.