Cho hình chữ nhật ABCD,AB=2BC,E thuộc BC.Tia AE giao CD tại F,Chứng minh rằng \(\frac{1}{\left(AB\right)^2}=\frac{1}{\left(AE\right)^2}+\frac{1}{4\left(AF\right)^2}\)
Cho hình chữ nhật ABCD, AB=2BC. Trên cạnh BC lấy điểm E. Tia AE cắt đường thẳng CD tại F. Chứng minh rằng:\(\frac{1}{AB^2}=\frac{1}{AE^2}+\frac{1}{4AF^2}\)
Vẽ AM ⊥ AF cắt tia CB tại M.
△AME vuông tại A, đg cao AB: \(\dfrac{1}{AB^2}\) = \(\dfrac{1}{AM^2}\)+\(\dfrac{1}{AE^2}\) (1)
Xét ΔABM vuông tại B và ΔADF vuông tại D có: góc MAB = góc FAD (cùng phụ góc BAE)
⇒ △ABM ∽ △ADF (g.g)
⇒ \(\dfrac{AM}{AF}\) = \(\dfrac{AB}{AD}\) = 2
⇒ AM = 2AF (2)
(1)(2) ⇒ \(\dfrac{1}{AB^2}\) = \(\dfrac{1}{4AF^2}\)+\(\dfrac{1}{AE^2}\)
Cho hình chữ nhật ABCD có AB=2BC. Qua kẻ A kẻ đường thẳng cắt B ở E, cắt CD ở F. Chứng minh \(\frac{1}{BC^2}=\frac{4}{AE^2}+\frac{1}{AF^2}\)
Cho hcn ABCD có AB=2BC. Trên tai BC lấy điểm E. Tia AE cắt đường thẳng CD tại F.
a) C/m: \(4\left(\frac{1}{AB^2}-\frac{1}{AE^2}\right)=\frac{1}{AF^2}\)
b) Từ 1 điểm M trong tam giác ABC, vẽ MI vuông BC, MH vuông AC, MK vuông AB. Xác định vị trí của M để MI2+MH2+MK2 đạt GTNN.
trl
câu b bài này hình như mik làm rồi
để mik làm xem
hình chữ nhật ABCD, AB=2BC,E thuộc BC, AE giao CD tại F . CM \(\frac{1}{4AF^2}\)+ \(\frac{1}{AE^2}\)=\(\frac{1}{AB^2}\)
Cho hình chữ nhật ABCD, AB=2BC. Trên BC lấy E, tia AE cắt CD ở F. cm\(\frac{1}{AB^2}=\frac{1}{AE^2}+\frac{1}{4AF^2}\)
Bài 1: Giải các phương trình sau
a)\(\left(6x+8\right)\left(6x+6\right)\left(6x+7\right)^2=72\)
b)\(\frac{1}{x^2+9x+20}+\frac{1}{x^2+11x+30}+\frac{1}{x^2+13x+42}=\frac{1}{18}\)
Bài 2: Cho hình vuông ABCD trên cạnh AB lấy điểm E và trên cạnh AD lấy điểm F sao cho AE=AF. Vẽ AH vuông góc với BF (H thuộc BF) AH cắt DC và BC lần lượt tại hai điểm M,N.
a) Chứng minh rằng tứ giác AEMD là hình chữ nhật
b) Biết diện tích tam giác BCH gấp bốn lần diện tích tam giác AEH. Chứng minh rằng: AC=2EF
c) Chứng minh rằng: \(\frac{1}{AD^2}=\frac{1}{AM^2}+\frac{1}{AN^2}\)
Bài 3: Cho \(a_n=1+2+3+...+n\)chứng minh rằng \(a_n+a_{n+1}\)là số chính phương
Bài 1:
a) Đặt \(6x+7=y\)
\(PT\Leftrightarrow y^2\left(y-1\right)\left(y+1\right)=72\)
\(\Leftrightarrow y^4-y^2-72=0\)
\(\Leftrightarrow\left(y^2-9\right)\left(y^2+8\right)=0\)
Mà \(y^2+8>0\left(\forall y\right)\)
\(\Rightarrow y^2-9=0\Leftrightarrow\left(y-3\right)\left(y+3\right)=0\Leftrightarrow\left(6x+4\right)\left(6x+10\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}6x+4=0\\6x+10=0\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=-\frac{2}{3}\\x=-\frac{5}{3}\end{cases}}\)
b) đk: \(x\ne\left\{-4;-5;-6;-7\right\}\)
\(PT\Leftrightarrow\frac{1}{\left(x+4\right)\left(x+5\right)}+\frac{1}{\left(x+5\right)\left(x+6\right)}+\frac{1}{\left(x+6\right)\left(x+7\right)}=\frac{1}{18}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{x+4}-\frac{1}{x+5}+\frac{1}{x+5}-\frac{1}{x+6}+\frac{1}{x+6}-\frac{1}{x+7}=\frac{1}{18}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{x+4}-\frac{1}{x+7}=\frac{1}{18}\)
\(\Leftrightarrow\frac{3}{\left(x+4\right)\left(x+7\right)}=\frac{1}{18}\)
\(\Leftrightarrow x^2+11x+28=54\)
\(\Leftrightarrow x^2+11x-26=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+13\right)\left(x-2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=-13\\x=2\end{cases}}\)
Bài 2 không tiện vẽ hình nên thôi nhờ godd khác:)
Bài 3:
Ta có:
\(a_n=1+2+3+...+n\)
\(a_{n+1}=1+2+3+...+n+\left(n+1\right)\)
\(\Rightarrow a_n+a_{n+1}=2\cdot\left(1+2+3+...+n\right)+\left(n+1\right)\)
\(=2\cdot\frac{n\left(n+1\right)}{2}+n+1\)
\(=n^2+n+n+1=\left(n+1\right)^2\)
Là SCP => đpcm
Bài 1.
a) ( 6x + 8 )( 6x + 6 )( 6x + 7 )2 = 72
Đặt t = 6x + 7
pt <=> ( t + 1 )( t - 1 )t2 = 72
<=> ( t2 - 1 )t2 - 72 = 0
<=> t4 - t2 - 72 = 0
Đặt a = t2 ( a ≥ 0 )
pt <=> a2 - a - 72 = 0
<=> a2 + 8a - 9a - 72 = 0
<=> a( a + 8 ) - 9( a + 8 ) = 0
<=> ( a + 8 )( a - 9 ) = 0
<=> \(\orbr{\begin{cases}a+8=0\\a-9=0\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}a=-8\left(loai\right)\\a=9\left(nhan\right)\end{cases}}\)
=> t2 = 9 => t = ±3
=> \(\orbr{\begin{cases}6x+7=3\\6x+7=-3\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=-\frac{2}{3}\\x=-\frac{5}{3}\end{cases}}\)
b) \(\frac{1}{x^2+9x+20}+\frac{1}{x^2+11x+30}+\frac{1}{x^2+13x+42}=18\)
<=> \(\frac{1}{\left(x+4\right)\left(x+5\right)}+\frac{1}{\left(x+5\right)\left(x+6\right)}+\frac{1}{\left(x+6\right)\left(x+7\right)}=\frac{1}{18}\)
ĐK : x ≠ -4 ; x ≠ -5 ; x ≠ -6 ; x ≠ -7
<=> \(\frac{1}{x+4}-\frac{1}{x+5}+\frac{1}{x+5}-\frac{1}{x+6}-\frac{1}{x+6}-\frac{1}{x+7}=\frac{1}{18}\)
<=> \(\frac{1}{x+4}-\frac{1}{x+7}=\frac{1}{18}\)
<=> \(\frac{x+7}{\left(x+4\right)\left(x+7\right)}-\frac{x+4}{\left(x+4\right)\left(x+7\right)}=\frac{1}{18}\)
<=> \(\frac{3}{\left(x+4\right)\left(x+7\right)}=\frac{1}{18}\)
<=> x2 + 11x + 28 = 54
<=> x2 + 11x + 28 - 54 = 0
<=> x2 + 11x - 26 = 0
<=> x2 - 2x + 13x - 26 = 0
<=> x( x - 2 ) + 13( x - 2 ) = 0
<=> ( x - 2 )( x + 13 ) = 0
<=> \(\orbr{\begin{cases}x-2=0\\x+13=0\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=2\\x=-13\end{cases}\left(tm\right)}\)
Cho hình chữ nhật ABCD, AB = 2BC. Trên cạnh BC lấy điểm E. Tia AE cắt đường thẳng CD tại F. Cmr: \(\frac{1}{AB^2}=\frac{1}{AE^2}+\frac{1}{4AF^2}\)
Từ F kẻ đường thẳng song song BC cắt AB tại M
\(\Rightarrow\) \(AM^2 + MF^2 = AF^2 \)(1)
Mà \(MF =BC =\dfrac{AB}{2}\)
(1) \(\Leftrightarrow\) \(AM^2 + \dfrac{AB^2}{4} = AF^2\)
\(\Rightarrow\)\(\dfrac{AM^2}{AF^2} + \dfrac{AB^2}{4AF^2} =1\) (2)
Mà \(\dfrac{AM}{AF} = \dfrac{AB}{AE}\)
(2) \(\Rightarrow\) \(\dfrac{AB^2}{AE^2} +\dfrac{AB^2}{4AF^2} =1\)
\(\Rightarrow\) \(\dfrac{1}{AB^2}=\dfrac{1}{AE^2}+\dfrac{1}{4AF^2}\)
cho hình chữ nhật ABCD , AB=2BC . Trên cạnh BC lấy điểm E tia AE cắt đường thẳng CD ở F
cmr \(\frac{1}{AB^2}=\frac{1}{AE^2}+\frac{1}{4AF^2}\)
dựng đường thẳng qua A vuông góc với AE cắt BC tại M.Khi đó ta có tam giác AME vuông tại A có AB là đường cao ứng với cạnh huyền nên theo hệ thức lượng trong tam giác ta có
1/AB^2=1/AE^2 + 1/AM^2
ta chỉ cần chứng minh AM^2= 4AF^2 hay AM=2AF là được
muốn chứng minh điều này chỉ cần xét 2 tam giác đồng dạng là ABM và ADF có:
góc B=góc D=90 độ
góc MAB=góc FAD (cùng phụ với góc BAE )
vậy 2 tam giác này đồng dạng với nhau(g.g)
suy ra AM/AF=AB/AD=AB/BC=2
từ đó suy ra đpcm là xong.
.Chỉ cần bám sát lí thuyết là làm được.Khi mình làm một bài gì phải có sự xem xét, chẳng hạn như bầi này mình đọc lên thấy có tỉ lệ bình phương mình phải nghĩ ra hệ thức đường cao liên quan với canh góc vuông trong tam giác vuông
k mk nhé thanks bạn nhìu nhìu
Từ F kẻ đường thẳng //BC cắt AB tại M
=> AM^2 + MF^2 = AF^2 (*)
Mà MF =BC =AB/2
(*) <=> AM^2 + AB^2/4 = AF^2
=> AM^2/AF^2 + AB^2/4AF^2 =1 (**)
mà AM/AF = AB/AE
(**) => AB^2/AE^2 + AB^2/4AF^2 =1
=> 1/AB^2=1/AE^2+1/4AF^2
Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn abc = 1. Chứng minh rằng: \(\frac{a^2}{\left(ab+2\right)\left(2ab+1\right)}+\frac{b^2}{\left(bc+2\right)\left(2bc+1\right)}+\frac{c^2}{\left(ac+2\right)\left(2ac+1\right)}\ge\frac{1}{3}\)\(\frac{1}{3}\)