Gọi E là trung điểm của CD.

Xét tam giác BDC ta có:

M là trung điểm của BC ( gt )

E là trung điểm của CD (cách vẽ)

=> EM là đường trung trực của tam giác BDC.

=> EM // BD => EM // ID ( I thuộc BD )

Xét tam giác AME có:

I là trung điểm của AM (gt)

EM // ID (cmt)

=> D là trung điểm của AE

Xét tam giác AME có:

I là trung điểm của AM (gt)

D là trung điểm của AE (cmt)

=> ID là đường trung bình của tam giác AME.

\(\Rightarrow ID=\frac{1}{2}ME\)

Mà \(ME=\frac{1}{2}BD\) ( ME là đường trung bình của tam giác BDC )

Nên \(ID=\frac{1}{4}BD\left(1\right)\)

Xét tam giác ABC vuông tại A ta có:

BC² = AB²+AC² ( Định lý Pitago thuận)

Thay: 

13² = 5² + AC²

169 = 25 + AC² => AC² = 169 - 25 = 144

=> AC² = 12²

=> AC = 12 (cm)

Ta có: AD = ED ( D là trung điểm của AE )

ED = EC ( E là trung điểm của DC)

=> AD = ED = EC

Mà AD + ED + EC = AC (gt)

Nên: AD + AD + AD = AC 

=> 3AD = AC

=> AD = AC/3

Mặt khác AC = 12 cm (cmt)

=> AD = 12/3 = 4 (cm)

Xét tam giác ABD vuông tại A ta có:

BD² = AB²+AD² ( định lý Pitago thuận)

BD² = 5²+4²

BD² = 25 + 20

BD² = 45

=> \(BD=\sqrt{45}\Rightarrow BD=3\sqrt{5}\left(cm\right)\left(2\right)\)

Thế (2) vào (1) ta được:

\(ID=\frac{3\sqrt{5}}{4}\left(cm\right)\left(3\right)\)

Ta có: 

BI + ID = BD ( I thuộc BD )

=> BI = BD - ID (4)

Thế (2), (3) vào (4) ta được:

\(BI=3\sqrt{5}-\frac{3\sqrt{5}}{4}\)

\(BI=3\sqrt{5}\left(1-\frac{1}{4}\right)\)

\(BI=3\sqrt{5}.\frac{3}{4}\)

\(BI=\frac{9\sqrt{5}}{4}\left(cm\right)\)

Gọi E là trung điểm của CD.

Xét \(\Delta BDC\) ta có:

M là trung điểm của BC (gt)

E là trung điểm của CD (cách vẽ)

\(\Rightarrow\) EM là đường trung bình của tam giác BDC

\(\Rightarrow\)EM // BD \(\Rightarrow\)EM // ID \(\left(I\in BD\right)\)

Xét \(\Delta AME\) ta có:

I là trung điểm của AM (gt)

EM // ID (cmt)

\(\Rightarrow\)D là trung điểm của AE

Xét \(\Delta AME\) ta có:

I là trung điểm của AM (gt)

D là trung điểm của AE (cmt)

\(\Rightarrow\)ID là đường trung bình của \(\Delta AME\)

\(\Rightarrow\)\(ID=\frac{1}{2}ME\)

Mà \(ME=\frac{1}{2}BD\) ( ME là đường trung bình của tam giác BDC)

Nên \(ID=\frac{1}{4}BD\)    (1)

Xét \(\Delta ABC\) vuông tại A ta có:

BC² = AB² + AC² ( Định lý Pitago thuận)

13² = 5² + AC²

169 = 25 + AC²

AC² = 169 - 25

AC² = 144

AC² = 12²

\(\Rightarrow\)\(AC=12\left(cm\right)\)

Ta có:

AD = ED ( D là trung điểm của AE)

ED = EC ( E là trung điểm của CD)

\(\Rightarrow\)\(AD=ED=EC\)

Mà AD + ED + EC = AC (gt)

Nên AD + AD + AD = AC 

\(\Rightarrow\)\(3AD=AC\)

\(\Rightarrow\)\(AD=\frac{AC}{3}\)

Mặt khác AC = 12 cm (cmt)

\(\Rightarrow\)\(AD=\frac{12}{3}=4\left(cm\right)\)

Xét \(\Delta ABD\) vuông tại A ta có:

BD² = AB² + AD² ( Định lý Pitago thuận)

BD² = 5² + 4²

BD² = 25 + 20

BD² = 45

\(\Rightarrow\)\(BD=\sqrt{45}\)

\(\Rightarrow\)\(BD=3\sqrt{5}\left(cm\right)\)    (2)

Thế (2) vào (1) ta được:

\(ID=\frac{3\sqrt{5}}{4}\left(cm\right)\)    (3)

Ta có:

BI + ID = BD ( I thuộc BD)

=> BI = BD - ID    (4)

Thế (2) và (3) vào (4) ta được:

\(BI=3\sqrt{5}-\frac{3\sqrt{5}}{4}\)

\(BI=3\sqrt{5}\left(1-\frac{1}{4}\right)\)

\(BI=3\sqrt{5}\cdot\frac{3}{4}\)

\(BI=\frac{9\sqrt{5}}{4}\left(cm\right)\)

Sao khó zậy

Lưu ý: Cách này không biết có nhanh không nhưng tớ đã nỗ lực suy nghĩ .... Nhìn đáp án không tròn nên chưa chắc .... Nhưng thấy cách làm cũng ko sai

ta có AM là trung tuyến => M là trung điểm BC

=> MC/BC = 1/2

từ M vẽ MH//BD (H thuộc AC)

xét tam giác AMH có MH//ID (MH//BD)

=>  ID/MH = AI/AM  (hệ quả thales) 

vì I là trung điểm AM nên ID/MH = AI/AM =1/2 (1)

xét tam giác BDC có MH//BD 

=> MH/BD = MC/BC = 1/2 (hệ quả thales)  (2)

từ (1) và (2) => \(\frac{ID}{MH}.\left(\frac{MH}{BD}\right)=\frac{1}{4}\)(3)

DỄ CHỨNG MINH: AD=DH=HC (chứng minh D là tđ AH, H là tđ DC)

=> AD=1/3.AC=4cm (bn tính AC bằng pitago trong tam giác ABC)

xét tam giác ABD vuông tại A có

BD^2=AB^2+AD^2

=> BD= \(\sqrt{41}\)cm

thế vào (3) tính được ID => tính đc BI (cộng đoạn thẳng)