cho a,b >0, c khác 0. CMR:
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0\Leftrightarrow\sqrt{a+b}=\sqrt{a+c}+\sqrt{b+c}\)
cho a,b>0, c khác 0.CMR: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0\)\(\Leftrightarrow\sqrt{a+b}=\sqrt{a+c}+\sqrt{b+c}\)
giúp mình với
\(\sqrt{a+b}=\sqrt{a+c}+\sqrt{b+c}\)
\(\Leftrightarrow a+b=a+c+b+c+2\sqrt{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}\)
\(\Leftrightarrow2c+2\sqrt{ab+bc+ca+c^2}=0\)
Theo giả thiết \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0\Leftrightarrow ab+bc+ca=0\)
Khi đó \(c=0?\)
Nhầm chỗ nào nhắc mình với nha mình cảm ơn nhiều
mình vẫn không phát hiện bạn nhầm chỗ nào
hình như là mình thấy bạn nhầm chỗ nào r
Cho a,b > 0, c ≠ 0. CMR:
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0\Leftrightarrow\sqrt{a+b}=\sqrt{a+c}+\sqrt{b+c}\)
Lời giải:
Ta có:
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0\)
\(\Leftrightarrow ab+bc+ac=0(*)\).
Từ $(*)$ ta thấy: \(c=\frac{-ab}{a+b}< 0\) do $a,b>0$
\(c+a=\frac{-ac}{b}>0\) do $c< 0; a,b>0$
\(c+b=\frac{-bc}{a}>0\) do $c< 0; a,b>0$
Do đó:
\((*)\Leftrightarrow c^2+ab+bc+ac=c^2\)
\(\Leftrightarrow (c+a)(c+b)=c^2\)
\(\Leftrightarrow \sqrt{(c+a)(c+b)}=|c|=-c\)
\(\Leftrightarrow 2\sqrt{(c+a)(c+b)}+2c=0\)
\(\Leftrightarrow (c+a)+(c+b)+2\sqrt{(c+a)(c+b)}=a+b\)
\(\Leftrightarrow (\sqrt{c+a}+\sqrt{c+b})^2=a+b\)
\(\Leftrightarrow \sqrt{c+a}+\sqrt{c+b}=\sqrt{a+b}\) (đpcm)
CMR: Với a, b, c > 0 thì: \(2b=a+c\Leftrightarrow\frac{2}{\sqrt{a}+\sqrt{c}}=\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}\)
Cho \(a,b>0\&c\ne0\)
CMR \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\Leftrightarrow\sqrt{a+b}=\sqrt{ac}+\sqrt{bc}\)
Cho: a;b >0 : c khác 0 và \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0\)
CMR: \(\sqrt{a+b}=\sqrt{a+c}+\sqrt{b+c}\)
Ta có \(a>0,b>0,\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0,a+c\ge0,b+c\ge0\)
Do đó \(\frac{1}{c}=-\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)< 0\Rightarrow c< 0\)
Ta có \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0\Leftrightarrow bc+ac+ab=0\)
\(\Rightarrow c^2=c^2+bc+ac+ab\)
\(\Rightarrow c^2=c\left(c+b\right)+a\left(c+b\right)=\left(a+c\right)\left(b+c\right)\)
\(\Rightarrow-c=\sqrt{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}\Rightarrow2\sqrt{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}+2c=0\)
\(\Rightarrow a+b=a+c+2\sqrt{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}+b+c\)
\(\Rightarrow a+b=\left(\sqrt{a+c}+\sqrt{b+c}\right)^2\)
\(\Rightarrow\sqrt{a+b}=\sqrt{a+c}+\sqrt{b+c}\)(đpcm)
Hoặc cách 2 bạn có thể đi ngược lại giả thuyết.Chúc bạn học tốt.
Cho 3 số thực a,b,c khác 0 và \(\sqrt{a+b}=\sqrt{b+c}+\sqrt{a+c}\). CMR:\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0\)
Cho a + b + c = 0 và a,b,c khác 0. CMR:
\(\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}}=|\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}|\)
Xét \(\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}}\)
\(=\sqrt{\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2-2\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\right)}\)
\(=\sqrt{\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2-2\left(\frac{a+b+c}{abc}\right)}\)
\(=\sqrt{\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2}=|\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}|\)
\(\Rightarrow\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}}=|\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}|\)(đpcm)
cho a+b+c=0 (a,b,c khác 0) CMR: \(\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}}=\left|\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right|\)
cho a,b,c>0. CMR: \(\frac{1}{a\sqrt{a+b}}+\frac{1}{b\sqrt{b+c}}+\frac{1}{c\sqrt{c+a}}\ge\frac{3}{\sqrt{2abc}}\)