a. 

Đề bài sai, ví dụ \(n=1\) lẻ nhưng  \(1^2+4.1+8=13\) ko chia hết cho 8

b.

n lẻ \(\Rightarrow n=2k+1\)

\(n^3+3n^2-n-3=n^2\left(n+3\right)-\left(n+3\right)=\left(n^2-1\right)\left(n+3\right)=\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n+3\right)\)

\(=\left(2k+1-1\right)\left(2k+1+1\right)\left(2k+1+3\right)\)

\(=8k\left(k+1\right)\left(k+2\right)\)

Do \(k\left(k+1\right)\left(k+2\right)\) là tích 3 số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 6

\(\Rightarrow8k\left(k+1\right)\left(k+2\right)\) chia hết cho 48

phân tích n^2+4n+8=(n+1)(n+3)

vì là số tự nhiên lẻ nên đặt n=2k+1(k thuộc N)

=>n^2+4n+8=(n+1)(n+3)=(2k+2)(2k+4)

=4.(k+1)(k+2)

(k+1)(k+2) là tích 2 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 2

=>4.(k+1)(k+2)\(⋮\)8

bài kia làm tương tự

a. Ta có:

\(\left(n+3\right)^2-\left(n-1\right)^2=\left(n+3-n+1\right)\left(n+3+n-1\right)=4\left(2n+2\right)=8n+8=8\left(n+1\right)\)chia hết cho \(8\)

b. Đặt \(M=n^3+3n^2-3-n\), ta có:

\(M=n^2\left(n+3\right)-\left(n+3\right)=\left(n+3\right)\left(n^2-1\right)=\left(n+3\right)\left(n-1\right)\left(n+1\right)\)

Vì  \(n\) là một số lẻ nên 

 \(\left(n-1\right)\left(n+1\right)\) chia hết cho \(8\) (vì là tích của hai số chẵn liên tiếp)

và  \(n+3\) là số chẵn nên chia hết cho \(2\) 

Do đó: \(M\)chia hết cho  \(8.2=16\)  \(\left(\text{*}\right)\)

Mặt khác: \(M=n^3+3n^2-3-n=n\left(n^2-1\right)+3\left(n^2-1\right)=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)+3\left(n^2-1\right)\)

Xét trường hợp:

+)  \(n=3k\Rightarrow n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\) chia hết cho  \(3\)  \(\Rightarrow M\) chia hết cho  \(3\)

+) \(n=3k+1\Rightarrow\left(n-1\right)\) chia hết cho  \(3\)  \(\Rightarrow M\) chia hết cho  \(3\)

+) \(n=3k+2\Rightarrow\left(n+1\right)\) chia hết cho \(3\)  \(\Rightarrow M\) chia hết cho  \(3\)

nên  \(M\) chia hết cho  \(3\) \(\left(\text{**}\right)\)

Lại có: \(\left(16;3\right)=1\) \(\left(\text{***}\right)\)

Từ \(\left(\text{*}\right)\) , \(\left(\text{**}\right)\) ,  \(\left(\text{***}\right)\) suy ra  \(M\) chia hết  \(48\) với \(n\) lẻ

tick cho mình rồi mình làm cho

a,        n^2+4n+3 = (n^2-1) +4n+4 = (n-1)(n+1) +4(2a+1)+4 = (n-1)(n+1)+8a+4+4

=(n-1)(n+1)+8a+8 = (n-1)(n+1) + 8.(a+1) 

vì n là lẻ => (n-1) và (n+1) là hai số chẵn liên tiếp => (n-1)(n+1)*8

và 8(a+1)*8 => (n-1)(n+1) + 8.(a+1) *8

vậy n^2+4n+3*8 với n là lẻ ( dấu * là dấu chia hết nhé)

b,           n^3+3n^2-n-3 = (n^3-n) + (3n^2-3) = n(n^2-1) + 3(n^2-1)= n.(n-1)(n+1) + 3.(n-1)(n+1)

=>3(n-1)(n+1) *8 và n(n-1)(n+1)*8 ( vì theo nguyên lý câu a thì (n-1)(n+1)*8  )        (1)

vì n;n-1;n+1 là 3 số tự nhiên liên tiếp nên n(n+1)(n-1) chia hết cho 3 và 2 => n(n-1)(n+1)*6

và 3(n-1)(n+1)*3 mà n-1 là chẵn nên 3(n-1)(n+1)*2  => 3(n-1)(n+1)*6 

=> n(n-1)(n+1) + 3(n-1)(n+1) *6                 (2)

từ (1) và (2) => n(n-1)(n+1) + 3(n-1)(n+1) * 6.8 = 48 hay n^3+3n^2-n-3*48

vậy với n là lẻ thì n^3+3n^2 -n-3 luôn chia hết cho 48

a) \(n^2+4n+3\)

Vì n là số lẻ nên n : 2 dư 1

Gọi n = 2k + 1

Thay n = 2k + 1 vào \(n^2+4n+3\)

Có : \(n^2+4n+3\) \(=n^2+3n+n+3\)

\(=n\left(n+1\right)+3\left(n+1\right)\)= ( n + 3 ) ( n + 1 ) (1)

Thay n = 2k + 1 vào (1)

=> (1) = \(\left(2k+1+3\right)\left(2k+1+1\right)\)

\(=\left(2k+4\right)\left(2k+2\right)\)

\(=2\left(k+2\right)2\left(k+1\right)=4\left(k+2\right)\left(k+1\right)\)

Xét: k + 2; k + 1 là hai số tự nhiên liên tiếp

=> \(\left(k+2\right)\left(k+1\right)\) \(⋮2\)

=> \(4\left(k+2\right)\left(k+1\right)⋮8\)

=> đpcm

a) Ta có:

\(n^2+4n+3\)

\(=n^2+n+3n+3\)

\(=n\left(n+1\right)+3\left(n+1\right)\)

\(=\left(n+1\right)\left(n+3\right)\)

Mà n là số nguyên lẻ nên chia cho 2 dư 1 = 2k + 1 \(\left(k\in Z\right)\)

Do đó \(n^2+4n+3=\left(n+1\right)\left(n+3\right)=\left(2k+1+1\right)\left(2k+1+3\right)=\left(2k+2\right)\left(2k+4\right)=4\left(k+1\right)\left(k+2\right)\)

Mà \(\left(k+1\right)\left(k+2\right)\) là tích 2 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 2.

Vậy \(n^3+4n+3=\left(n+1\right)\left(n+3\right)=4\left(k+1\right)\left(k+2\right)\) chia hết cho 4; chi hết cho 2.

=> \(n^3+4n+3⋮4.2=8\)

Vậy ...

b) Ta có:

\(n^3+3n^2-n-3\)

\(=\left(n+1\right)\left(n-1\right)\left(n-3\right)\)

Thay n = 2k +1, ta được:

\(\left(2k+1+1\right)\left(2k\right)\left(2k-2\right)\)

\(=2k.2.2.k\left(k+1\right)\left(k-1\right)\)

\(=8\left(k-1\right)k\left(k+1\right)\)

Mà k-1 ; k ; k+1 là 3 số nguyên liên tiếp, mà 3 số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho 6.

\(\Rightarrow8\left(k-1\right)k\left(k+1\right)⋮6.8=48\)

Vậy ...

Câu hỏi của Lưu Thanh Vy - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath

Em tham khaoe link trên.