Cho hàm số \(y=f\left(x\right)=\frac{4^x}{4^x+2}\).Tính giá trị của:
\(P=f\left(\frac{1}{2017}\right)+f\left(\frac{2}{2017}\right)+...........+f\left(\frac{2016}{2017}\right)\)
Cho hàm số \(y=f\left(x\right)=\frac{4^x}{4^x+2}\).Tính giá trị của:
\(P=f\left(\frac{1}{2017}\right)+f\left(\frac{2}{2017}\right)+.......+f\left(\frac{2016}{2017}\right)\)
Cho hàm số \(y=f\left(x\right)=\frac{4^x}{4^x+2}\).Tính:
\(P=f\left(\frac{1}{2017}\right)+f\left(\frac{2}{2017}\right)+....+f\left(\frac{2016}{2017}\right)\)
Bài 1: Cho \(f\left(x\right)=\frac{x^3}{1-3x+3x^2}\)
Tính GTBT: \(f\left(\frac{1}{2017}\right)+f\left(\frac{2}{2017}\right)+...+f\left(\frac{2016}{2017}\right).\)
Bài 2: Giải HPT sau: \(\hept{\begin{cases}2x^2-y^2+xy+3y=2\\x^2-y^2=3\end{cases}}\)
Bài 3: Tìm m để PT: \(x^4+x^3+\left(m-2\right)x^2-4mx-2m^2=0\)có 4 nghiệm thỏa \(x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2=5\)
Ta có: \(\frac{1}{f\left(x\right)}-1=\frac{\left(1-x\right)^3}{x^3}\)
Xét hai số a, b dương sao cho \(a+b=1\)
Ta có: \(\hept{\begin{cases}\frac{1}{f\left(a\right)}-1=\frac{\left(1-a\right)^3}{a^3}\\\frac{1}{f\left(b\right)}-1=\frac{\left(1-b\right)^3}{b^3}\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\frac{1-f\left(a\right)}{f\left(a\right)}=\frac{\left(1-a\right)^3}{a^3}\\\frac{1-f\left(b\right)}{f\left(b\right)}=\frac{a^3}{\left(1-a\right)^3}\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\frac{1-f\left(a\right)}{f\left(a\right)}.\frac{1-f\left(b\right)}{f\left(b\right)}=1\)
\(\Rightarrow f\left(a\right)+f\left(b\right)=1\)
Áp dụng vào bài toán ta được
\(f\left(\frac{1}{2017}\right)+f\left(\frac{2}{2017}\right)+...+f\left(\frac{2016}{2017}\right)\)
\(=\left[f\left(\frac{1}{2017}\right)+f\left(\frac{2016}{2017}\right)\right]+\left[f\left(\frac{2}{2017}\right)+f\left(\frac{2015}{2017}\right)\right]+...+\left[f\left(\frac{1008}{2017}\right)+f\left(\frac{1009}{2017}\right)\right]\)
\(=1+1+...+1=1008\)
Câu 2/
\(\hept{\begin{cases}2x^2-y^2+xy+3y=2\left(1\right)\\x^2-y^2=3\left(2\right)\end{cases}}\)
Ta có:
\(\left(1\right)\Leftrightarrow\left(x+y-1\right)\left(2x-y+2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}y=1-x\\y=2x+2\end{cases}}\)
Thế ngược lại (1) giải tiếp sẽ ra nghiệm.
Cho f(x) = \(\frac{1}{2x-2x^2-1}\)
Tính giá trị biểu thức : \(f\left(\frac{1}{2016}\right)+f\left(\frac{2}{2016}\right)+f\left(\frac{3}{2016}\right)+...+f\left(\frac{2015}{2016}\right)+f\left(\frac{2016}{2016}\right)\)
Ta có:
f(x)=\(\frac{x^2}{2x-2x^2-1}=\frac{x^2}{-\left(x-1\right)^2-x^2}\)
tiếp tục giờ ta tìm f(1-x) mục đích của việc này là để ghép cặp vì bạn để ý ghép sao cho tổng của tử bằng mẫu. Vây f(1-x)=\(\frac{\left(x-1\right)^2}{-x^2-\left(x-1\right)^2}\)
từ đây suy ra f(x)+f(1-x)= -1( bạn cũng xem lại đề cho mình nha tử là x^2 chứ không phải là 1 )
Giờ ta ghép cặp như sau: ta loại trừ f(\(\frac{1008}{2016}\)) và f(1) ra 1 ở đây mình rút gọn 2016/2016. 2 số này sẽ dùng để thay vào tính: Còn các số còn lại sẽ được ghép làm 1007 cặp mà mỗi cặp bằng -1 do cmt. vậy mình gọi cái cần tính là A thì
=> A=-1.1007-1-0,5=-1008,5
Bạn xem lại hộ xem thử đề đúng không nhé b. Sao không thấy có cơ sở để tính tổng này??
Cho \(f\left(x\right)=\dfrac{x^3}{1-3x+3x^2}\) Hãy tính giá trị của biểu thức sau: \(A=f\left(\dfrac{1}{2017}\right)+f\left(\dfrac{2}{2017}\right)+...+f\left(\dfrac{2015}{2017}\right)+f\left(\dfrac{2016}{2017}\right)\)
Lời giải:
Ta thấy: \(f(x)=\frac{x^3}{1-3x+3x^2}\Rightarrow f(1-x)=\frac{(1-x)^3}{1-3(1-x)+3(1-x)^2}=\frac{(1-x)^3}{3x^2-3x+1}\)
\(\Rightarrow f(x)+f(1-x)=\frac{x^3}{1-3x+3x^2}+\frac{(1-x)^3}{3x^2-3x+1}=\frac{x^3+(1-x)^3}{3x^2-3x+1}=1\)
Do đó:
\(f\left(\frac{1}{2017}\right)+f\left(\frac{2016}{2017}\right)=1\)
\(f\left(\frac{2}{2017}\right)+f\left(\frac{2015}{2017}\right)=1\)
............
\(f\left(\frac{1008}{2017}\right)+f\left(\frac{1009}{2017}\right)=1\)
Cộng theo vế:
\(\Rightarrow A=f\left(\frac{1}{2017}\right)+f\left(\frac{2}{2017}\right)+f\left(\frac{3}{2017}\right)+...f\left(\frac{2015}{2017}\right)+f\left(\frac{2016}{2017}\right)\)
\(=\underbrace{1+1+1...+1}_{1008}=1008\)
Cho đa thức f(x)=x3-3x2+3x+3
Chứng minh: \(f\left(\frac{2017}{2016}\right)< f\left(\frac{2016}{2015}\right)\)
Ta sẽ xét tính biến thiên của hàm số :
Ta có \(f\left(x\right)=\left(x^3-3x^2+3x-1\right)+4=\left(x-1\right)^3+4\)
\(f\left(\frac{2017}{2016}\right)-f\left(\frac{2016}{2015}\right)=\left(\frac{2017}{2016}-1\right)^3-\left(\frac{2016}{2015}-1\right)^3\)
\(=\left(\frac{1}{2016}-\frac{1}{2015}\right)\left[\left(\frac{2017}{2016}-1\right)^2+\left(\frac{2016}{2015}-1\right)^2+\left(\frac{2017}{2016}-1\right)\left(\frac{2016}{2015}-1\right)\right]\)
\(=\left(\frac{1}{2016}-\frac{1}{2015}\right)\left(\frac{1}{2016^2}+\frac{1}{2015^2}+\frac{1}{2016}.\frac{1}{2015}\right)< 0\)
\(\Rightarrow f\left(\frac{2017}{2016}\right)-f\left(\frac{2016}{2015}\right)< 0\Rightarrow f\left(\frac{2017}{2016}\right)< f\left(\frac{2016}{2015}\right)\)
Ta sẽ xét tính biến thiên của hàm số :
Ta có f\left(x\right)=\left(x^3-3x^2+3x-1\right)+4=\left(x-1\right)^3+4f(x)=(x3−3x2+3x−1)+4=(x−1)3+4
f\left(\frac{2017}{2016}\right)-f\left(\frac{2016}{2015}\right)=\left(\frac{2017}{2016}-1\right)^3-\left(\frac{2016}{2015}-1\right)^3f(20162017)−f(20152016)=(20162017−1)3−(20152016−1)3
=\left(\frac{1}{2016}-\frac{1}{2015}\right)\left[\left(\frac{2017}{2016}-1\right)^2+\left(\frac{2016}{2015}-1\right)^2+\left(\frac{2017}{2016}-1\right)\left(\frac{2016}{2015}-1\right)\right]=(20161−20151)[(20162017−1)2+(20152016−1)2+(20162017−1)(20152016−1)]
=\left(\frac{1}{2016}-\frac{1}{2015}\right)\left(\frac{1}{2016^2}+\frac{1}{2015^2}+\frac{1}{2016}.\frac{1}{2015}\right)< 0=(20161−20151)(201621+201521+20161.20151)<0
\Rightarrow f\left(\frac{2017}{2016}\right)-f\left(\frac{2016}{2015}\right)< 0\Rightarrow f\left(\frac{2017}{2016}\right)< f\left(\frac{2016}{2015}\right)⇒f(20162017)−f(20152016)<0⇒f(20162017)<f(20152016)
Cho hàm số \(y=f\left(x\right)\)không âm có đạo hàm trên \(\left[0;\frac{\pi}{4}\right]\)thỏa mãn \(f\left(x\right)=\frac{f'\left(x\right)}{cosx}\).Biết \(f\left(0\right)=1\).giá trị của \(f\left(\frac{\pi}{4}\right)?\)(Đáp án:\(e^{\frac{\sqrt{2}}{2}}\))
Cho hàm số \(y=f\left(x\right)=\frac{2}{3}x\)
Tính \(f\left(-2\right);f\left(-1\right);f\left(0\right);f\left(\frac{1}{2}\right);f\left(1\right);f\left(2\right);f\left(3\right)\)
Cho hàm số y=f(x)= -4
Tính: f(0); f(1); f(-1); f(3); f(-3); f\(\left(\frac{1}{2}\right)\); f\(\left(-\frac{1}{2}\right)\); f\(\left(\frac{3}{2}\right)\); f\(\left(-\frac{3}{2}\right)\)