a) ta có tam giác abc cân tại a

mà ad là tia phân giác góc bac

suy ra ad là dường vuông góc suy ra ad vuông góc bc

b)ta có af là tia phân giác ead thì suy ra góc fac =góc eac chia 2

tương tự với ad suy ra dac+fac=180/2=90

suy ra af // bc do cùng vuông góc với ad

c) ta có fac=acd do slt,af//bc

mà fac=fae do à là tia phân giác

      abc=acb do tam giác cân 

suy ra fae=abc

xét tam giác abd và eaf (c.g.c) suy ra ad=fe 

d)ta có ef//ad do cùng vuông góc với af

mà fc//ad do cùng vuông góc với af

suy ra e,f,c thẳng hàng

a/ Ta có AD là phân giác góc BAC (gt) => góc DAC = gócBAC/2 (1) 
Tương tự góc CAF = gócCAE/2 (2) 
Mà góc BAC + góc CAE = 180 độ (kề bù) (3) 
Từ (1);(2) và (3) => góc DAC + góc CAF =180/2 = 90độ => AF vuông góc với AD. Mà BC cũng vuông góc với AD (Cm phần a) => AF // BC (quan hệ từ vuông góc đến song song). 

b/ Do AF // BC (CM trên) => góc DCA = góc CAF (so le trong) => góc CAF = góc ABC => góc ABC = góc EAF 
Xét tam giác BDA và tam giác AFE có AB = AE (gt); góc ABC = góc EAF và BD = AF (gt) 
=> 2 tam giác này bằng nhau(c.g.c) => góc BDA = góc EFA = 90độ và EF = AD 

c/ Chứng minh tương tự phần c ta được tam giác FAC = tam giác DCA(c.g.c) => góc AFC = góc ADC = 90độ. 
Ta thấy nếu E;F;C thẳng hàng thì suy ra: + Góc EFC = 180độ (góc bẹt) 
+ góc AEF = góc AEC 
Ngoài ra còn tạo ra góc đối đỉnh,... 
Nên ngược lại ta có thể dùng các điều suy ra để chứng minh các điểm thẳng hàng 
Ta có : góc EFA + góc AFC = 90độ + 90độ = 180 độ => 3 điểm E;F và C thẳng hàng (đpcm)

CHÚC BẠN HỌC GIỎI

a: Xét ΔABD và ΔACD có

AB=AC

\(\widehat{BAD}=\widehat{CAD}\)

AD chung

Do đó: ΔABD=ΔACD

b: Xét ΔBAC có \(\widehat{EAC}\) là góc ngoài tại đỉnh A

nên \(\widehat{EAC}=\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=2\cdot\widehat{ABC}\)(1)

Ta có: AF là phân giác của góc EAC

=>\(\widehat{EAC}=2\cdot\widehat{EAF}=2\cdot\widehat{FAC}\)(2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat{ABC}=\widehat{EAF}=\widehat{ACB}\)

Ta có: \(\widehat{EAF}=\widehat{ABC}\)

mà hai góc này là hai góc ở vị trí đồng vị

nên AF//BC

c: Xét ΔEAF và ΔABD có

EA=AB

\(\widehat{EAF}=\widehat{ABD}\)

AF=BD

Do đó: ΔEAF=ΔABD

=>EF=AD

d: Ta có: ΔABD=ΔACD

=>BD=CD và \(\widehat{ADB}=\widehat{ADC}\)

Ta có: \(\widehat{ADB}=\widehat{ADC}\)

mà \(\widehat{ADB}+\widehat{ADC}=180^0\)(hai góc kề bù)

nên \(\widehat{ADB}=\widehat{ADC}=90^0\)

=>AD\(\perp\)BC

Ta có: AF//BC

D\(\in\)BC

Do đó: AF//CD

Ta có: AF=BD

BD=CD

Do đó: AF=CD

Xét tứ giác ADCF có

AF//CD

AF=CD

Do đó: ADCF là hình bình hành

Hình bình hành ADCF có \(\widehat{ADC}=90^0\)

nên ADCF là hình chữ nhật

=>\(\widehat{AFC}=90^0\)

Ta có: ΔEAF=ΔABD

=>\(\widehat{EFA}=\widehat{ADB}=90^0\)

Ta có: \(\widehat{EFA}+\widehat{CFA}=\widehat{EFC}\)

=>\(\widehat{EFC}=90^0+90^0=180^0\)

=>E,F,C thẳng hàng