Do \(x+y+z=0\) \(\Rightarrow x+y=-z\)

Ta có: \(\left(x^3+y^3\right)+z^3=\left(x+y\right)^3+z^3-3xy\left(x+y\right)\)

\(=\left(x+y+z\right)\left[\left(x+y\right)^2-\left(x+y\right)z+z^2\right]-3xy\left(-z\right)=3xyz\)(do \(x+y+z=0\)).

ta có:

(x+y+z)³=0

x^3+y^3+z^3+3(x+y)(y+z)(z+x)=0 (1)

mà x+y+z=0 suy ra x+y= -z; y+z= -x; z+x= -y (2)

từ (1) và (2) suy ra

x^3+y^3+z^3+3(-z)(-x)(-y)=0

x^3+y^3+z^3-3xyz=0

x^3+y^3+z^3=3xyz(đpcm)

 ta có: a+b+c=1 

<=>(a+b+c)^2=1 

<=>ab+bc+ca=0 (1) 

mặt khác: áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có: 

x/a=y/b=z/c=(x+y+z)/(a+b+c)=x+y+z 

<=> x=a(x+y+z) ; y=b(x+y+z) ; z=c(x+y+z) 

=>xy+yz+zx=ab(x+y+z)^2+bc(x+y+z)^2+ca(x... 

<=>xy+yz+zx=(ab+bc+ca)(x+y+z)^2 (2) 

từ (1) và (2) ta có đpcm 

Bài 3:

a, (\(x\)+y+z)²

=((\(x\)+y) +z)²

= (\(x\) + y)² + 2(\(x\) + y)z + z²

= \(x^2\) + 2\(xy\) + y² + 2\(xz\) + 2yz + z²

=\(x^2\) + y² + z² + 2\(xy\) + 2\(xz\) + 2yz

b, (\(x-y\))(\(x^2\) + y² + z² - \(xy\) - yz - \(xz\))

= \(x^3\) + \(xy^2\) + \(xz^2\) - \(x^2\)y - \(xyz\) - \(x^2\)z - y³ 

Đến dây ta thấy xuất hiện \(x^3\) - y³ khác với đề bài, em xem lại đề bài nhé

c,

(\(x\) + y + z)³ 

=(\(x\) + y)³ + 3(\(x\) + y)²z + 3(\(x\)+y)z² + z³

= \(x^3\) + 3\(x^2\)y + 3\(xy^{2^{ }}\) + y³ +  3(\(x\)+y)z(\(x\) + y + z) + z³

= \(x^3\) + y³ + z³ + 3\(xy\)(\(x\) + y) + 3(\(x+y\))z(\(x+y+z\))

= \(x^3\) + y³ + z³ + 3(\(x\) + y)( \(xy\) + z\(x\) + yz + z²)

= \(x^3\) + y³ + z³ + 3(\(x\) + y){(\(xy+xz\)) + (yz + z²)}

= \(x^3\) + y³ + z³ + 3(\(x\) + y){ \(x\)( y +z) + z(y+z)}

= \(x^3\) + y³ + z³ + 3(\(x\) + y)(y+z)(\(x+z\)) (đpcm)

ta có:x+y+z=0

=>x,y,z là 3 số hạng giống nhau, 0^ bao nhiêu cũng bằng 0

Do đó, x^3+y^3+z^3=3xyz

Thật ra e ms lp 6 thui nên nghĩ sao nói vậy dù sao thì cũng có cái ý, đáp án cuối cùng là đúng, chỉ có trường hợp xảy ra là trình bày bài k chặt chẽ, nên là có lẽ người đưa ra bài toán này fai tìm cách giải chặt chẽ hơn, ok, nhưng nhớ là cũng k cho e đó

Dùng hẳng đẳng thức em ạ.

\(\left(x+y+z\right)^3=\left(x+y\right)^3+3\left(x+y\right)^2z+3\left(x+y\right)z^2+z^3\)

\(=x^3+y^3+z^3+3\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\)

Vậy \(x^3+y^3+z^3+3\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)=0\Rightarrow x^3+y^3+z^3=-3\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\)

Lại do x + y + x =0 nên \(-3\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)=-3\left(-z\right)\left(-x\right)\left(-y\right)=3xyz\)

Vậy \(x^3+y^3+z^3=3xyz\)

Chúc em học tốt :))