Cho \(y\)là các số thực thỏa mãn điều kiện \(1-2y-y^2\ge0\). Chứng minh rằng
\(\sqrt{1-2y-y^2}\le y+3\)
Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?
Cho các số thực dương x,y thỏa mãn \(x+y>=3\). Chứng minh :\(x+y+\dfrac{1}{2x}+\dfrac{1}{2y}>=\dfrac{9}{2}\) Đẳng thức xảy ra khi nào?
Cho các số thực dương x y z và thõa mãn điều kiện : xyz=1 chứng munh bất đẳng thức 1/2x+y+3 + 1/2y+z+3 +1/2z+x+3 <= 1/2. Dấu bằng xảy ra khi nào
Cho abc=1 va a3>36.CMR:a23+b2+c2>ab+bc+ca}
Lời giải:
VT−VP=a24+b2+c2−ab−bc+2bc+a212=(a2−b−c)2+a2−36bc12>0⇒ đpcm
Cách khác:
Từ giả thiết suy ra a>0 và bc>0. Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với
a23+(b+c)2−3bc−a(b+c)≥0⟺13+(b+ca)2−b+ca−3a3≥0
Vì a3>36 nên
a) Chứng minh với mọi số thực a,b,c a cs \(ab+bc+ca\le\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\)
b) Cho 3 số dương x,y,z thỏa mãn điều kiện x+y+z=3/4. Chứng minh:
\(6\left(x^2+y^2+z^2\right)+10\left(xy+yz+zx\right)+2\left(\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\right)\ge9\)
Đẳng thức xảy ra khi nào?
\(ab+bc+ca\le a^2+b^2+c^2\le\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\) ( bđt phụ + Cauchy-Schwarz dạng Engel )
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(a=b=c\)
CM bđt phụ : \(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx\)
\(\Leftrightarrow\)\(2x^2+2y^2+2z^2\ge2xy+2yz+2zx\)
\(\Leftrightarrow\)\(2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2yz-2zx\ge0\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left(x^2-2xy+y^2\right)+\left(y^2-2yz+z^2\right)+\left(z^2-2zx+x^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\ge0\) ( luôn đúng )
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(x=y=z\)
Chúc bạn học tốt ~
b) Cho 3 số dương x,y,z thỏa mãn điều kiện x+y+z=3/4. Chứng minh:
\(6\left(x^2+y^2+z^2\right)+10\left(xy+yz+zx\right)+2\left(\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\right)\ge9\)
Đẳng thức xảy ra khi nào?
hùi nãy mem nào k sai cho t T_T t buồn
\(VT\ge6\left(x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx\right)-2\left(xy+yz+zx\right)+2.\frac{9}{4\left(x+y+z\right)}\)
\(=6\left(x+y+z\right)^2-2.\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}+\frac{9}{2\left(x+y+z\right)}=6.\left(\frac{3}{4}\right)^2-2.\frac{\left(\frac{3}{4}\right)^2}{3}+\frac{9}{2.\frac{3}{4}}\)
\(=\frac{27}{8}-\frac{3}{8}+6=9\)
\(\Rightarrow\)\(VT\ge9\) ( đpcm )
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(x=y=z=\frac{1}{4}\)
Chúc bạn học tốt ~
Cho x,y là các số thực dương thỏa mãn x+ 3y \(\le\) 10
Chứng minh rằng \(\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{27}{\sqrt{3y}}\ge10\)
Dấu đẳng thức xảy ra khi nào ?
+\(10=x+3y=x+\frac{y}{3}+\frac{y}{3}+\frac{y}{3}+\frac{y}{3}+\frac{y}{3}+\frac{y}{3}+\frac{y}{3}+\frac{y}{3}+\frac{y}{3}\ge10\sqrt[10]{\frac{1}{3^9}x.y^9}\)
\(=\frac{10}{3}.\sqrt[10]{3}.\sqrt[10]{xy^9}\)
\(\Rightarrow xy^9\le3^9\)
+\(\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{27}{\sqrt{3y}}=\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{3}{\sqrt{3y}}+\frac{3}{\sqrt{3y}}+.....+\frac{3}{\sqrt{3y}}\)
\(\ge10\sqrt[10]{\frac{3^9}{\sqrt{3^9x.y^9}}}\ge10\sqrt[10]{\frac{3^9}{\sqrt{3^9.3^9}}}=10\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(x=1;y=3\)
x + 25 = 64
x = 64 - 25
x = 39
Vậy x = 39
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho ba số dương, ta có:
\(\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{x}}+x\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{\sqrt{x}}.\frac{1}{\sqrt{x}}.x}=3\left(1\right)\)
\(\frac{27}{\sqrt{3y}}+\frac{27}{\sqrt{3y}}+3y\ge3\sqrt[3]{\frac{27}{\sqrt{3y}}.\frac{27}{\sqrt{3y}}.3y}=27\left(2\right)\)
Cộng theo vế các bất đẳng thức (1) và (2) ta được: \(2\left(\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{27}{\sqrt{3y}}\right)+x+3y\ge30\)
\(\Rightarrow2\left(\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{27}{\sqrt{3y}}\right)\ge30-\left(x+3y\right)\ge20\)(Do theo giả thiết thì \(x+3y\le10\))
\(\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{27}{\sqrt{3y}}\ge10\)(đpcm)
Đẳng thức xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}x=1\\y=3\end{cases}}\)
cho các số thực dương x,y thỏa mãn x+y >hoặc=
chứng mjnh rằng: \(x+y+\frac{1}{2x}+\frac{1}{2y}\ge\frac{9}{2}\)
đẳng thức xảy ra khi nào ?
a) Chứng minh với mọi số thực a,b,c a có \(ab+bc+ca\le\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\)
b) Cho 3 số dương x,y,z thỏa mãn điều kiện x+y+z=3/4. Chứng minh:
\(6\left(x^2+y^2+z^2\right)+10\left(xy+yz+zx\right)+2\left(\dfrac{1}{2x+y+z}+\dfrac{1}{x+2y+z}+\dfrac{1}{x+y+2z}\right)\ge9\)
Đẳng thức xảy ra khi nào?
\(6\left(x^2+y^2+z^2\right)+10\left(xy+yz+xz\right)+2\left(\dfrac{1}{2x+y+z}+\dfrac{1}{x+2y+z}+\dfrac{1}{x+y+2z}\right)\)
\(=6\left(x^2+y^2+z^2\right)+12\left(xy+yz+xz\right)+2\left(\dfrac{1}{2x+y+z}+\dfrac{1}{x+2y+z}+\dfrac{1}{x+y+2z}\right)-2\left(xy+yz+xz\right)\)
\(=6\left(x+y+z\right)^2+2\left(\dfrac{1}{2x+y+z}+\dfrac{1}{x+2y+z}+\dfrac{1}{2z+x+y}\right)-2\left(xy+yz+xz\right)\)
\(\ge6\left(x+y+z\right)^2+2.\dfrac{\left(1+1+1\right)^2}{2x+y+z+x+2y+z+2z+x+y}-2\left(xy+yz+xz\right)\)
\(=6\left(x+y+z\right)^2+\dfrac{18}{4\left(x+y+z\right)}-2\left(xy+yz+xz\right)\)
\(\ge6\left(x+y+z\right)^2+\dfrac{18}{4\left(x+y+z\right)}-\dfrac{2}{3}\left(x+y+z\right)^2\)
\(=6.\left(\dfrac{3}{4}\right)^2+\dfrac{18}{4.\dfrac{3}{4}}-\dfrac{2}{3}.\left(\dfrac{3}{4}\right)^2=9\)
\("="\Leftrightarrow x=y=z=\dfrac{1}{4}\)
a) ab+bc+ca\(\le\dfrac{\left(a+c+b\right)^2}{3}\)
\(\Leftrightarrow3ab+3bc+3ac\le a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac\)
\(\Leftrightarrow ab+bc+ac\le a^2+b^2+c^2\)
\(\Leftrightarrow2ab+2bc+2ca\le2a^2+2b^2+2c^2\)
\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+c^2-2ca+a^2\ge0\)
\(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\) (luôn đúng \(\forall a,b,c\)
a) 3.(ab+bc+ac)≤a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac
<=> \(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac\ge0\)
<=> \(2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac\ge0\)
<=> (a-b)2+(b-c)2+(a-c)2≥0 ( luon dung voi moi a,b,c)
b) ap dung ket qua tren va vế sau bn xem bài giải của mk ở trên
Cho x,y là hai số thực dương thỏa mãn điều kiện \(|x-2y|\le\frac{1}{\sqrt{x}}\) và \(|y-2x|\le\frac{1}{\sqrt{y}}\)
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = x2 + 2y
Cho x,y là các số thực dương thỏa mãn \(x+3y\le10\)
Chứng minh rằng \(\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{27}{\sqrt{3y}}\ge10\)
Dấu đẳng thức xảy ra khi nào ???