đk: \(y+3\ge0\)
BĐT cần chứng minh tương đương
\(BPT\Leftrightarrow1-2y-y^2\le\left(y+3\right)^2=y^2+6y+9\)
\(\Leftrightarrow2y^2+8y+8\ge0\)
\(\Leftrightarrow2\left(y+2\right)^2\ge0\left(\forall y\right)\)
Dấu "=" xảy ra khi: \(y+2=0\Rightarrow y=-2\)
Cho \(x\)thỏa mãn điều kiện\(\left\{{}\begin{matrix}5-x^2\ge0\\5-\dfrac{1}{x^2}\ge0\end{matrix}\right.\)
Chứng minh rằng
\(\sqrt{5-x^2}+\sqrt{5-\frac{1}{x^2}}+x+\frac{1}{x}\le6\).
Đẳng thức xảy ra khi nào?
Chứng minh rằng với mọi \(x\)thỏa mãn điều kiện \(6-x^2\ge0\) luôn có
\(2x+\sqrt{12-2x^2}\le6\).
Đẳng thức xảy ra khi nào?
Cho \(x,y,z\) là ba số dương thỏa mãn điều kiện \(x+2y\le3z\) . Chứng minh rằng
\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{2}{y}\ge\dfrac{3}{z}\).
Cho \(x,y\) là hai số dương có tổng không lớn hơn 2. Chứng minh rằng
\(\dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}}+\dfrac{1}{\sqrt{1+y^2}}\le\dfrac{2}{\sqrt{1+xy}}\)
Cho \(x,y\) là hai số dương có tổng không lớn hơn 2. Chứng minh rằng
\(\dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}}+\dfrac{1}{\sqrt{1+y^2}}\le\dfrac{2}{\sqrt{1+xy}}\).
Cho \(a,b,c\)là ba số dương có tích bằng 1. Chứng minh rằng
\(\frac{1}{a^2\left(b+c\right)}+\frac{1}{b^2\left(c+a\right)}+\frac{1}{c^2\left(a+b\right)}\ge\frac{3}{2}\).
1) Chứng minh rằng với mọi \(a,b,c\) và với mọi \(\alpha,\beta,\gamma>0\) luôn có
\(\frac{a^2}{\alpha}+\frac{b^2}{\beta}+\frac{c^2}{\gamma}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{\alpha+\beta+\gamma}\).
2) Chứng minh rằng với mọi \(a,b,c>0\)luôn có
\(\frac{a+1}{b+2c+3}+\frac{b+1}{c+2a+3}+\frac{c+1}{a+2b+3}\ge1\).
