Áp dụng BĐT phụ:\(\frac{x^2}{m}+\frac{y^2}{n}\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{m+n}\)

\(\frac{x^4}{1}+\frac{y^4}{1}\ge\frac{\left(x^2+y^2\right)^2}{2}=\frac{\left(\frac{x^2}{1}+\frac{y^2}{1}\right)^2}{2}\ge\frac{\frac{\left(x+y\right)^4}{4}}{2}=\frac{1}{8}\)

Dấu "=" xảy ra tại x=y=¹/₂

Áp dụng BĐT AM-GM ta có: \(xy\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}\le\frac{x^2+y^2}{2}\)

Suy ra: \(P=6\left[\left(x+y\right)^3-3xy\left(x+y\right)\right]+8\left[\left(x^2+y^2\right)^2-2\left(xy\right)^2\right]+\frac{5}{xy}\)

\(\ge6\left(1-\frac{3}{4}\right)+8\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{8}\right)+\frac{5}{\frac{1}{4}}\) (Do x+y=1) \(\Rightarrow P\ge6-\frac{9}{2}+2-1+20=\frac{45}{2}\)(đpcm).

Dấu "=" xảy ra <=> x=y=1/2.

dễ Cm được x² +y² ≥ (x+y)²/2 

<=> x² +y² ≥ 1/2(x² +y²) + xy 

<=> 1/2(x² +y²) -xy ≥ 0 

<=> 1/2(x-y)² ≥ 0 ( luôn đúng ) 

vậy x² + y² ≥ (x+y)²/2 = 1/2 

tương tự thì 

x^4 + y^4 ≥ (x² +y²)²/2 ≥ (1/2)²/2 = 1/8 

vậy x^4 + y^4 ≥ 1/8 

dấu = xảy ra <=> x=y=1/2

Lời giải:

BĐT cần chứng minh tương đương với:

\((x+y+z)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{9}{x+y+z}\right)\geq (x+y+z)\left(\frac{4}{x+y}+\frac{4}{y+z}+\frac{4}{z+x}\right)\)

\(\Leftrightarrow 12+\frac{y+z}{x}+\frac{x+z}{y}+\frac{x+y}{z}\geq 12+\frac{4x}{y+z}+\frac{4y}{x+z}+\frac{4z}{x+y}\)

\(\Leftrightarrow (\frac{y}{x}+\frac{y}{z}-\frac{4y}{x+z})+(\frac{z}{x}+\frac{z}{y}-\frac{4z}{x+y})+(\frac{x}{y}+\frac{x}{z}-\frac{4x}{y+z})\geq 0\)

\(\Leftrightarrow \frac{y(x-z)^2}{xz(x+z)}+\frac{z(x-y)^2}{xy(x+y)}+\frac{x(y-z)^2}{yz(y+z)}\geq 0\)

(luôn đúng với mọi $x,y,z>0$)

Do đó ta có đpcm.
Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z$

Dấu "=" xảy ra khi x=y=2; ta có : \(\sqrt[3]{8^x.8^x}=\sqrt[3]{64^x}=4^x\)

\(8^x+8^x+8^2\ge3\sqrt[3]{8^x.8^x.8^2}=12.4^x\)

\(8^y+8^y+8^2\ge12.4^y\)

\(8^z+8^z+8^2\ge12.4^z\)

Cộng 3 vế BĐT trên => đpcm

Một cách khác:

Đặt $(2^x,2^y,2^z)=(a,b,c)\Rightarrow abc=2^{x+y+z}=2^6=64$

Bài toán trở thành:

Cho $a,b,c>0$ sao cho $abc=64$. CMR: $a^3+b^3+c^3\geq 4(a^2+b^2+c^2)$

------------------------------

Áp dụng BĐT Bunhiacopxky và AM-GM:

$(a^3+b^3+c^3)(a+b+c)\geq (a^2+b^2+c^2)^2$

\(\Rightarrow a^3+b^3+c^3\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{a+b+c}(1)\)

Mà: \(a^2+b^2+c^2\geq \frac{(a+b+c)^2}{3}\geq \frac{(a+b+c).3\sqrt[3]{abc}}{3}=\frac{(a+b+c).3\sqrt[3]{64}}{3}=4(a+b+c)(2)\)

Từ \((1);(2)\Rightarrow a^3+b^3+c^3\geq \frac{(a^2+b^2+c^2).4(a+b+c)}{a+b+c}=4(a^2+b^2+c^2)\) (đpcm)

Vậy.......

 có bđt: a²+b² ≥ (a+b)²/2 (*) 
(*) <=> 2a²+2b² ≥ a²+b²+2ab <=> a²+b²-2ab ≥ 0 <=> (a-b)² ≥ 0 bđt đúng, dấu "=" khi a = b 
- - - 
ad (*) 2 lần liên tiếp: 
x^4 + y^4 ≥ (x²+y²)²/2 ≥ [(x+y)²/2]²/2 = (x+y)^4 /8 = 1/8 
=> 8(x^4 + y^4) ≥ 1 (*) 

mặt khác, có bđt: (x-y)² ≥ 0 <=> x²+y² ≥ 2xy <=> x²+y²+2xy ≥ 4xy <=> (x+y)² ≥ 4xy 
=> 1/xy ≥ 4/(x+y)² = 4 (**) 

(*) + (**): 8(x^4 + y^4) + 1/xy ≥ 1+4 = 5 (đpcm) dấu "=" khi x = y = 1/2 

Đặt \(A=\frac{x}{y^4+2}+\frac{y}{z^42}+\frac{z}{x^4+2}\ge1\)

\(A=\frac{y^4}{x+2}+\frac{z^4}{y+2}+\frac{x^4}{z+2}\ge1\)

Còn lại thì bạn tính tổng nha! Lớn hơn hoặc bằng 1 là được :))