a) 3 đường cao AD;BE;CF của \(\Delta\)ABC gặp nhau tại H.

Thấy ngay: Tứ giác BFHD nội tiếp đường tròn => ^FBH=^FDH (1)

Tương tự: ^ECH=^EDH (2)

Từ (1) và (2) kết hợp với ^FBH=^ECH (Cùng phụ ^BAC) => ^FDH=^EDH

=> DH là tia phân giác của ^FDE.

Ta có: MN // BC và AD vuông BC => MN vuông AD (Quan hệ //, vg góc)  

Xét \(\Delta\)MDN: DH vuông MN (cmt); DH là p/g ^MDN (hay ^FDE)

=> \(\Delta\)MDN cân đỉnh D => DM=DN => AD là đường trung trực của MN

=> AM=AN => \(\Delta\)AMN cân đỉnh A (đpcm).

b) Tia AM cắt BC tại K.

Xét \(\Delta\)NAI: ^AIN=180⁰ - (^IAN + ^INA) (3)

Ta thấy: ^IAN = ^MAI - ^MAN = ^BAC - ^MAN = ^BAM + ^CAN (Do ^MAI=^BAC)

             ^INA= ^NAD + ^NDA (Do ^INA là góc ngoài tam giác AND)

=> ^IAN + ^INA = ^BAM + (^CAN +^NAD) + ^NDA = ^BAM + ^NDA + ^DAC

= ^BAM + ^NDA + ^CBE

Lại có: Tứ giác AEDB nội tiếp đường tròn => ^ADE=^ABE hay ^NDA=^ABE

=> ^IAN + ^INA = ^BAM + ^CBE + ^ABE = ^BAM + ^ABC= ^BAK + ^ABK

Mà ^AMN=^AKC (Đồng vị) = ^BAK + ^ABK (Góc ngoài đỉnh K tam giác AKB)

Suy ra: ^IAN + ^INA = ^AMN (4)

Thế (4) vào (3) => ^AIN = 180⁰ - ^AMN <=> ^AIN + ^AMN =180⁰

=> Tứ giác AMNI nội tiếp đường tròn (đpcm).

c)  Dễ c/m \(\Delta\)AMD=\(\Delta\)AND (c.c.c) => ^AMD=^AND <=> 180⁰-^AMD=180⁰-^AND

=> ^AMF=^ANI. Mà tứ giác AMNI nt => ^ANI=^AMI

Do đó: ^AMF=^AMI => MA là tia phân giác ^FMI (đpcm).

cảm ơn bạn Kurokawa Neko, bạn trả lời sớm giúp mình, mình đang ôn đội tuyển nên có rất nhiều bài cần hỏi, bạn giúp mình nha.

Cảm ơn!

https://lazi.vn/edu/exercise/cho-tam-giac-abc-co-goc-a-120-do-duong-phan-giac-ad-d-thuoc-bc-ve-de-vuong-goc-voi-ab-df-vuong-goc

a) ΔAED=ΔAFDΔAED=ΔAFD(ch-gn)nên DE=DF.(hai cạnh tương ứng)

Mặt khác dễ dàng chứng minh được EDFˆ=60o

Vì vậy tam giác DEF là tam giác đều

b)ΔEDK=ΔFDT(hai cạnh góc vuông)

nen DK=DI(hai cạnh tương ứng).Do đó Tam giác DIK cân ở D

c) AD là tia phân giác của góc BAC nên DAB^=DAC^=1/2BAC^=60o

AD//MC(gt),do đó AMCˆ=DABˆ=60o(hai góc nằm trong vị trí đồng vị)

AMC^=CAD^=60o(hai góc nằm trong vị trí sole trong)

Tam giác AMC có hai góc bằng nhau và khoảng 60o nên là tam giác đều

d)Ta có AF=AC-FC=CM-FC=m-n.

=BC 

a: Xét ΔBAD vàΔBED có

BA=BE

góc ABD=góc EBD
BD chung

=>ΔBAD=ΔBED

=>DA=DE và góc BED=90 độ

=>DE vuông góc BC

b: BA=BE

DA=DE

=>BD là trung trực của AE

=>BD vuông góc AE

c: AM//DE

DE vuông góc BC

=>AM vuông góc BC

AM//DE

=>góc MAE=góc AED

=>góc MAE=góc DAE

=>AE là phân giác của góc MAD

a: Xét ΔADE có

AG vừa là đường cao, vừa là phân giác

nên ΔADE cân tại A

=>AD=AE

b: góc BFD=góc DEA

góc BDF=góc BEA

Do đo: góc BFD=góc BDF

=>ΔBFD cân tại B

c: Xét ΔBMF và ΔCME có

góc BMF=góc CME
MB=MC

góc MBF=góc MCE
Do đó: ΔBMF=ΔCME

=>MF=ME

=>M là trung điểm của EF

=>BD=CE

a: góc AEH+góc AFH=180 độ

=>AEHF nội tiếp

b: góc DFC=góc EBC

góc EFC=góc DAC

góc EBC=góc DAC

=>góc DFC=góc EFC

KHÔNG THẤY HÌNH THÌ VÀO THỐNG KÊ HỎI ĐÁP NHA

A) VÌ \(BH\perp AD\Rightarrow\widehat{BHA}=90^o\)

         \(CI\perp AD\Rightarrow\widehat{CID}=90^o\)

\(\Rightarrow\widehat{BHA}=\widehat{CID}=90^o\)hay \(\widehat{BHI}=\widehat{CIH}=90^o\)

HAI GÓC NÀY Ở VỊ TRÍ SO LE TRONG BẰNG NHAU 

=> BH // CI (ĐPCM)

B) 

XÉT \(\Delta ABC\)VUÔNG TẠI A 

\(\Rightarrow\widehat{A}=90^o\)hay \(\widehat{BAH}+\widehat{HAC}=90^o\left(1\right)\)

XÉT \(\Delta AHB\)VUÔNG TẠI H

\(\Rightarrow\widehat{H}=90^o\)hay \(\widehat{BAH}+\widehat{ABH}=180^o-90^o=90^o\left(2\right)\)

từ (1) và (2) \(\Rightarrow\widehat{HAC}=\widehat{ABH}\)

XÉT \(\Delta ABH\)VÀ\(\Delta CAI\)CÓ

\(\widehat{H}=\widehat{I}=90^o\)

AB = AC (gt)

\(\widehat{ABH}=\widehat{IAC}\)(CMT)

=>\(\Delta ABH\)=\(\Delta CAI\)(C-G-C)

=> BH = AI ( HAI CẠNH TƯƠNG ỨNG )

Ai giúp mk vs ạ