hóng với ai biết làm chỉ công thức đê , cho chúa Pain  làm với :))

\(A=\frac{3x^2+4}{4x}+\frac{2+y^3}{y^2}=\frac{3x^2}{4x}+\frac{4}{4x}+\frac{2}{y^2}+\frac{y^3}{y^2}\)

\(=\frac{3x}{4}+\frac{1}{x}+\frac{2}{y^2}+y=\left(\frac{1}{x}+\frac{x}{4}\right)+\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y+\frac{2}{y^2}+\frac{1}{2}y\)

\(=\left(\frac{1}{x}+\frac{x}{4}\right)+\frac{1}{2}\left(x+y\right)+\frac{2}{y^2}+\frac{y}{4}+\frac{y}{4}\)

\(=\left(\frac{1}{x}+\frac{x}{4}\right)+\frac{x+y}{2}+\left(\frac{2}{y^2}+\frac{y}{4}+\frac{y}{4}\right)\)

Áp dụng BĐT Cô-si ta có :

\(\frac{1}{x}+\frac{x}{4}\ge2\sqrt[2]{\frac{1}{x}.\frac{x}{4}}=2\sqrt[2]{\frac{x}{4x}}=2\sqrt[2]{\frac{1}{4}}=2.\frac{1}{2}=1\)

\(\frac{2}{y^2}+\frac{y}{4}+\frac{y}{4}\ge3\sqrt[3]{\frac{2}{y^2}.\frac{y}{4}.\frac{y}{4}}=3\sqrt[3]{\frac{2.y.y}{y^2.4.4}}=3\sqrt[3]{\frac{2y^2}{16y^2}}=3.\sqrt[3]{\frac{1}{8}}=\frac{3}{2}\)

Và theo giả thiết ta có \(x+y\ge4\Leftrightarrow\frac{x+y}{2}\ge2\)

Cộng theo vế các bất đẳng thức cùng chiều ta được :

\(\left(\frac{1}{x}+\frac{4}{x}\right)+\left(\frac{2}{y^2}+\frac{y}{4}+\frac{y}{4}\right)+\frac{x+y}{2}\ge1+\frac{3}{2}+2=\frac{9}{2}\)

Dấu = xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=2\)

Vậy \(Min_A=\frac{9}{2}\)đạt được khi \(x=y=2\)

\(A=\frac{3x}{4}+\frac{1}{x}+\frac{2}{y^2}+y=\frac{x}{4}+\frac{1}{x}++\frac{2}{y^2}+\frac{y}{4}+\frac{y}{4}+\frac{x}{2}+\frac{y}{2}\)

\(\Rightarrow A\ge2\sqrt{\frac{x}{4}.\frac{1}{x}}+3\sqrt[3]{\frac{2}{y^2}.\frac{y}{4}.\frac{y}{4}}+\frac{1}{2}\left(x+y\right)=1+\frac{3}{2}+2=\frac{9}{2}\)

\(\Rightarrow A_{min}=\frac{9}{2}\) khi \(x=y=2\)

Câu hỏi của Nguyễn Thị Thùy Dung - Toán lớp 9 | Học trực tuyến

Bạn tham khảo

1.

Áp dụng bất đẳng thức AM - GM cho 2 số dương ta có:

         \(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}\ge2\sqrt{\frac{ab}{c}.\frac{bc}{a}}=2b\)

tương tự, ta có:

         \(\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}\ge2\sqrt{\frac{bc}{a}.\frac{ac}{b}}=2c\)

         \(\frac{ab}{c}+\frac{ac}{b}\ge2\sqrt{\frac{ab}{c}.\frac{ac}{b}}=2a\)

Cộng theo vế của 3 BĐT trên, ta được:

     \(2\left(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}\right)\ge2\left(a+b+c\right)\)

\(\Rightarrow\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}\ge a+b+c\)        (ĐPCM)

ý b nghĩ đã ~.~

2. 

P = \(\frac{x^2}{2-x}+\frac{y^2}{2-y}+\frac{z^2}{2-z}\)

Sau đó áp dụng bất đẳng thức AM - GM như trên nhé bạn!

mik vẫn chưa hình dung cách lm câu b của bạn kia,,,,,

theo mik thì tek này nè: \(\frac{x^2}{y+z}+\frac{y+z}{4}\ge x\)

lm tương tự r cộng lại,,,ok???

Lời giải:

Áp dụng BĐT Cô-si:

\(A=\frac{3}{4}x+\frac{1}{x}+\frac{3}{4}y+\frac{1}{y}=\frac{1}{2}(x+y)+(\frac{x}{4}+\frac{1}{x})+(\frac{y}{4}+\frac{1}{y})\)

\(\geq \frac{1}{2}.4+2\sqrt{\frac{x}{4}.\frac{1}{x}}+2\sqrt{\frac{y}{4}.\frac{1}{y}}=4\)

Ta có đpcm

Dấu "=" xảy ra khi $x=y=2$

Đặt \(\hept{\begin{cases}2^x=a\\2^y=b\end{cases}}\) thì ta có: \(A=\frac{1+ab}{1+a^2}+\frac{1+ab}{1+b^2}\)

Ta cần chứng minh \(2\) là GTNN của A (khi x=1,02171...;y=1,02171... và x=y=1,04019...)

\(\Leftrightarrow\left(1+ab\right)\left(\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}\right)\ge2\)

Và điều này tương đương với \(\frac{\left(ab-1\right)\left(a-b\right)^2}{\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)}\ge0\)

Cái này đúng nếu \(ab\ge1\)