Trên tia đối tia CB lấy điểm E sao cho CE = CA. Nối MA, ME nên  ∆ ACE cân tại C có CM là đường phân giác nên CM là đường trung trực (tính chất tam giác cân)

⇒ MA = ME (tính chất đường trung trực)

Ta có: AC + BC = CE + BC = BE (1)

MA + MB = ME + MB (2)

Trong ∆ MBE, ta có: BE < MB+ ME (bất đẳng thức tam giác) (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra: AC + CB < AM + MB.

Từ A kẻ đường vuông góc với tia pg của góc ngoài đỉnh C và cắt tia đối của tia CB tại A'.

C/m được MA = MA', CA = CA'.

Áp dụng BĐT vào tam giác MBA' :

MA' + MB > BA' = BC + CA' = BC + AC

MA + MB > BC + AC (đpcm)

Phạm Tuấn Kiệt copy

gọi d là đường phân giác của góc ngoài tại C trên tia đối của tia Cb lấy E sao cho CE=CA

vì tam giác ACE cân tại C d là đường phân giác của góc ACE nên d là đường trung trực của AEdo đó MA=ME

ta có AC+CB=EC+CB=BE

         AM+MB=EM+MB

tâm giác BME có BE<EM+MB

=> AC+CB<AM+MB

mk chỉ có thể vẽ hình minh họa

Trên tia đối của tia CB lấy điểm A' sao cho CA' = CA. Sử dụng tính chất của tam giác cân ta có được CM là đường trung trực của AA' Þ MA = MA'. Sử dụng bất đẳng thức trong tam giác A'MB ta có: CA + CB = CA' + CB = BA' <MA' + MB Þ CA + CB < MA + MB.

Trên tia đối của tia CB lấy điểm N sao cho AC = CN

Ta thấy Cx là tia phân giác ^ACN; M thuộc Cx => ^ACM = ^NCM

Xét \(\Delta\)ACM và \(\Delta\)NCM có: CA=CN; ^ACM = ^NCM; CM chung => \(\Delta\)ACM = \(\Delta\)NCM (c.g.c)

=> MA = MN (2 cạnh tương ứng)

Xét \(\Delta\)MBN có: MN + MB > BN (BĐT tam giác) => MN + MB > CN + CB (1)

Thay MA = MN (cmt); AC = CN vào (1) => MA + MB > AC + CB (đpcm).

Trên tia đối của tia CB lấy E sao cho CE=CA

Ta có : \(\Delta ACE\) cân (CM là phân giác nên CM cũng là trung trực)

=> AC+CB=EC+CB=BE

AM+MB=EM+MB

\(\Delta BME\) có BE< EM+MB

Từ các điều trên => AC+CB < AM+MB

Gọi Cc là tia phân giác ngoài đỉnh C

Trên tia đổi của CB lấy điểm E sao cho AC = EC

=> \(\Delta ACE\)cân tại C 

Mà Cc là tia phân giác của góc \(\widehat{ACE}\)

=> Cc vừa là Tia phân giác vừa là đường trung trực của AE

=> MA = ME ( tc)

Ta có \(AC+CB\Leftrightarrow EC+CB\left(AC=EC\right)=BE\left(1\right)\)

         \(AM+BM\Leftrightarrow ME+BM\left(2\right)\)

Xét tam giác BME có 

\(BE< ME+BM\left(dl\right)\left(3\right)\)

Từ (1); (2) và (3)

\(\Rightarrow AC+BC< AM+BM\left(đpcm\right)\)

Kẻ \(AH\perp MC\)cắt BC ở K

Xét hai tam giác vuông AHC và KHC có:

         HC: cạnh chung

         \(\widehat{ACH}=\widehat{KCH}\)(gt)

Suy ra \(\Delta AHC=\Delta KHC\left(cgv-gnk\right)\)

\(\Rightarrow AH=KH\) và AC = KC (hai cạnh tương ứng)

Xét hai tam giác vuông AMH và KMH có:

         MH: cạnh chung

        \(AH=KH\)(cmt)

Suy ra \(\Delta AMH=\Delta KMH\left(2cgv\right)\)

\(\Rightarrow AM=KM\)(hai cạnh tương ứng)

Áo dụng BĐT tam giác vào tam giác BMK, ta được: \(BM+MK>BK\)

\(\Rightarrow BM+AM>BC+CK\)

\(\Rightarrow BM+AM>BC+AC\left(đpcm\right)\)

Từ A vẽ AH vuông góc với CM cắt BC tại D.

\(\Delta MAH=\Delta MDH\left(cgc\right)\)(tự chứng minh)

\(=>MA=MD\)(2 cạnh tương ứng)

Theo bất đẳng thức tam giác : MD+MB>BD

nên MA+MB>BD (1)

Ta có : BD=BC+CD 

Mà CA=CD(tự chứng minh)nên BD=CA+CB(2)

Từ (1) và (2) => CA+CB<MA+MB