(11x + 6y + 2015) (x - y + 3) = 0 =>  x -  y + 3 = 0 do x ; y > 0 nên 11x + 6y + 2015 > 0

=> y = x + 3.

=> P = x(x+3) - 5x + 2016 = x² - 2x + 2016 = (x - 1)² + 2015 \(\ge\) 2015 với mọi x 

Vậy Min P = 2015 khi x - 1 = 0 <=> x = 1 => y = 4 

sÀm sí

nhảm nhí

Ta có : \(\left(11x+6y+2015\right)\left(x-y+3\right)=0\)

Mà \(x,y>0\)

=> \(11x+6y+2015>0\)

=> \(x-y+3=0\)

=> \(y=x+3\)

Ta có : \(P=x\left(x+3\right)-5x+2016\)

=> \(P=x^2+3x-5x+2016\)

=> \(P=x^2-2x+2015=\left(x-1\right)^2+2015\)

Ta thấy : \(\left(x-1\right)^2\ge0\forall x\)

=> \(\left(x-1\right)^2+2015=P\ge2015\forall x\)

Vậy Min_P = 2015 <=> x = 1 ( y = 4 )

\(B=\frac{x^3}{y+1}+\frac{y^3}{1+x}=\frac{\left(x^4+y^4\right)+\left(x^3+y^3\right)}{xy+x+y+1}\)

\(=\frac{\left(x^4+y^4\right)+\left(x+y\right)\left(x^2+y^2-xy\right)}{x+y+2}=\frac{\left(x^4+y^4\right)+\left(x+y\right)\left(x^2+y^2-1\right)}{x+y+2}\)

Áp dụng BĐT cô si với các số dương x² ; y² ; x⁴ ; y⁴ ta được :

\(B\ge\frac{2x^2y^2+\left(x+y\right)\left(2xy-1\right)}{x+y+2}=\frac{2+\left(x+y\right)}{x+y+2}=1\)

Dấu ''='' xảy ra khi \(\Leftrightarrow x=y=1\)

\(y\ge\dfrac{8-x}{x+1}\Rightarrow P\ge4x+\dfrac{8-x}{x+1}+3=\dfrac{4x^2+6x+11}{x+1}=\dfrac{4x^2-4x+1+10\left(x+1\right)}{x+1}=\dfrac{\left(2x-1\right)^2}{x+1}+10\ge10\)

\(P_{min}=10\) khi \(\left(x;y\right)=\left(\dfrac{1}{2};5\right)\)

áp dụng bất đẳng thức cauchy cho 2015 số , ta có

\(2x^{2015}+2013=x^{2015}+x^{2015}+1+1+..+1\ge2015\sqrt[2015]{x^{2015}.x^{2015}}=2015x^2\)

tương tự ta có

\(\hept{\begin{cases}2.y^{2015}+2013\ge2015y^2\\2.z^{2015}+2013\ge2015z^2\end{cases}}\)

cộng ba bất đẳng thức lại ta có \(2\left(x^{2015}+y^{2015}+z^{2015}\right)+2013.3\ge2015\left(x^2+y^2+z^2\right)\)

hay \(2015\left(x^2+y^2+z^2\right)\le2.3+2013.3=2015.3\Rightarrow\left(x^2+y^2+z^2\right)\le3\)

dấu "=" xảy ra khi x=y=z=1

Đáp án C.

Ta có:

G T ⇔ 5 x + 2 y + x + 2 y − 3 − x − 2 y = 5 x y − 1 − 3 1 − x y + x y − 1.

Xét hàm số

f t = 5 t + t − 3 − t ⇒ f t = 5 t ln 5 + 1 + 3 − t ln 3 > 0   ∀ t ∈ ℝ

Do đó hàm số đồng biến trên ℝ  suy ra f x + 2 y = f x y − 1 ⇔ x + 2 y = x y − 1

⇔ x = 2 y + 1 y − 1 ⇒ T = 2 y + 1 y − 1 + y . Do x > 0 ⇒ y > 1  

Ta có:  T = 2 + y + 3 y − 1 = 3 + y − 1 + 3 y − 1 ≥ 3 + 2 3 .

Đáp án C.

Ta có: GT

<=> 5^x+2y + x + 2y – 3^–x–2y = 5^xy–1 – 3^1–xy + xy – 1.

X é t   h à m   s ố   f t = 5 t + t - 3 - t

⇒ f t = 5 t ln 5 + 1 + 3 - t ln 3 > 0   ∀ t ∈ ℝ

Do đó hàm số đồng biến trên  ℝ suy ra

f(x+2y) = f(xy – 1) <=> x+ 2y = xy – 1

⇔ x = 2 y + 1 y - 1 ⇒ T = 2 y + 1 y - 1 + y .

Do x > 0 => y > 1.

Ta có:

T = 2 + y + 3 y - 1 = 3 + y - 1 + 3 y - 1 ≥ 3 + 2 3 .