Cho x,y>0 thỏa mãn: \(x+2y\le5\)
Tìm gtnn của biểu thức:
\(P=x^2+2y^2-2x-9y+\dfrac{1}{x}+\dfrac{4}{y}+2024\)
cho x,y,z>0 thỏa mãn \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{2}{y}+\dfrac{3}{z}=6\) và biểu thức \(P=x+y^2+z^3\).
a/. CM: \(P\ge x+2y+3z-3\)
b/. tìm GTNN của P
\(P+3=x+\left(y^2+1\right)+\left(z^3+1+1\right)\ge x+2y+3z\)
\(\Rightarrow P\ge x+2y+3z-3\)
\(6=\dfrac{1}{x}+\dfrac{4}{2y}+\dfrac{9}{3z}\ge\dfrac{\left(1+2+3\right)^2}{x+2y+3z}\)
\(\Rightarrow x+2y+3z\ge6\Rightarrow P\ge3\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\)
Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn điều kiện x+y+z=1. Tìm GTNN của biểu thức \(A=\dfrac{x}{x+1}+\dfrac{y}{y+1}+\dfrac{z}{z+1}\)
Cho x,y,z lớn hơn 0 thỏa mãn 13x+5y+12z=9. Tìm GTLN của biểu thức \(b=\dfrac{xy}{2x+y}+\dfrac{3yz}{2y+z}+\dfrac{6zx}{2z+x}\)
Giúp mk nhanh nhé mọi người ơi
Cho các số thực dương x, y thỏa mãn \(x+y\le2\). Tìm GTNN của biểu thức \(P=\dfrac{1}{xy}+\dfrac{8}{x+2y+3}\)
Cho x,y,z >0 thỏa mãn \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=3\). Tìm GTLN của biểu thức \(P=\dfrac{1}{\sqrt{5x^2+2xy+2y^2}}+\dfrac{1}{\sqrt{5y^2+2yz+2z^2}}+\dfrac{1}{\sqrt{5z^2+2xz+2x^2}}\)
\(5x^2+2xy+2y^2-\left(4x^2+4xy+y^2\right)=\left(x-y\right)^2\ge0\\ \Leftrightarrow5x^2+2xy+2y^2\ge4x^2+4xy+y^2=\left(2x+y\right)^2\)
\(\Leftrightarrow P\le\dfrac{1}{2x+y}+\dfrac{1}{2y+z}+\dfrac{1}{2z+x}=\dfrac{1}{9}\left(\dfrac{9}{x+x+y}+\dfrac{9}{y+y+z}+\dfrac{9}{z+z+x}\right)\\ \Leftrightarrow P\le\dfrac{1}{9}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{x}\right)\\ \Leftrightarrow P\le\dfrac{1}{9}\left(\dfrac{3}{x}+\dfrac{3}{y}+\dfrac{3}{z}\right)=\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)=1\)
Dấu \("="\Leftrightarrow x=y=z=1\)
\(\sqrt{5x^2+2xy+2y^2}=\sqrt{4x^2+2xy+y^2+x^2+y^2}\ge\sqrt{4x^2+2xy+y^2+2xy}=2x+y\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{\sqrt{5x^2+2xy+2y^2}}\le\dfrac{1}{2x+y}=\dfrac{1}{x+x+y}\le\dfrac{1}{9}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)=\dfrac{1}{9}\left(\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{y}\right)\)
Tương tự:
\(\dfrac{1}{\sqrt{5y^2+2yz+2z^2}}\le\dfrac{1}{9}\left(\dfrac{2}{y}+\dfrac{1}{z}\right)\) ; \(\dfrac{1}{\sqrt{5z^2+2zx+2x^2}}\le\dfrac{1}{9}\left(\dfrac{2}{z}+\dfrac{1}{x}\right)\)
Cộng vế:
\(P\le\dfrac{1}{9}\left(\dfrac{3}{x}+\dfrac{3}{y}+\dfrac{3}{z}\right)=1\)
\(P_{max}=1\) khi \(x=y=z=1\)
cho x,y,z thỏa mãn xyz=1. tìm GTNN của \(T=\dfrac{xy}{z^2x+z^2y}+\dfrac{yz}{x^2y+x^2z}+\dfrac{zx}{y^2x+y^2z}\)
\(T=\dfrac{\left(xy\right)^2}{zx+zy}+\dfrac{\left(yz\right)^2}{xy+xz}+\dfrac{\left(zx\right)^2}{yx+yz}\ge\dfrac{xy+yz+zx}{2}\ge\dfrac{3}{2}\sqrt[3]{\left(xyz\right)^2}=\dfrac{3}{2}\)
cho 2 số thực `x,y` thỏa mãn `x>0,y>2,x`\(\ne\)`2y`. CMR: \(\left(\dfrac{x-y}{2y-x}-\dfrac{x^2+y^2+y-2}{x^2-xy-2y^2}\right)\left(2x^2+y+2\right):\dfrac{x^4+4x^2y^2+y^4-4}{x^2+y+xy+x}=\dfrac{x+1}{2y-x}\)
Đề bài sai, đề đúng thì phân thức đằng sau dấu chia phải là:
\(\dfrac{4x^4+4x^2y+y^2-4}{x^2+y+xy+x}\)
Cho số s.y thỏa mãn đẳng thức: 5x2+5x2+8xy-2x+2y+2=0. tính giá trị của biểu thức M=(x-y)2023-(x-2)2024+(y+1)2023.
Sửa đề: \(5x^2+5y^2+8xy-2x+2y+2=0\)
=>\(4x^2+8xy+4y^2+x^2-2x+1+y^2+2y+1=0\)
=>\(\left(2x+2y\right)^2+\left(x-1\right)^2+\left(y+1\right)^2=0\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}2x+2y=0\\x-1=0\\y+1=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=-1\end{matrix}\right.\)
\(M=\left(x-y\right)^{2023}-\left(x-2\right)^{2024}+\left(y+1\right)^{2023}\)
\(=\left(1+1\right)^{2023}-\left(1-2\right)^{2024}+\left(-1+1\right)^{2023}\)
\(=2^{2023}-1\)
Cho x,y là các số thực thay đổi nhưng luôn thỏa mãn \(x+2y^3+8xy\ge2\). GTNN của biểu thức \(P=8x^4+\dfrac{1}{2}y^4-2xy\)
Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn: x.y=2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(P=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{2y}+\dfrac{1}{x+2y}\)
\(P=\dfrac{x+2y}{2xy}+\dfrac{1}{x+2y}=\dfrac{x+2y}{4}+\dfrac{1}{x+2y}\)
\(P=\dfrac{x+2y}{16}+\dfrac{1}{x+2y}+\dfrac{3\left(x+2y\right)}{16}\)
\(P\ge2\sqrt{\dfrac{x+2y}{16\left(x+2y\right)}}+\dfrac{3}{16}.2\sqrt{2xy}=\dfrac{5}{4}\)
\(P_{min}=\dfrac{5}{4}\) khi \(\left(x;y\right)=\left(2;1\right)\)